Ekvationslösning

När du kommit till att

$(x^3 + 1)(x^3 + 1) = x^2 - 1$

så blir det fel sen när du dividerar med $x^2 - 1$, om du gör det så får du 1 i HL, inte 0.

Stokastisk skrev :

När du kommit till att

$(x^3 + 1)(x^3 + 1) = x^2 - 1$

så blir det fel sen när du dividerar med $x^2 - 1$, om du gör det så får du 1 i HL, inte 0.

Just det, men det går fortfarande med -1 dock finns det andra lösningar?

Du kan börja med att notera att du har att

$x^3 + 1 = \sqrt{x^2 - 1}$

Nu är ju HL alltid icke negativt. Detta innebär att också VL måste vara icke negativt. Så om vi ska ha en lösning så måste $x \ge -1$. Men samtidigt så måste $x^2 \ge 1$ eftersom annars blir det negativt i kvadratroten. Därför får man att antingen är $x = -1$ eller så är $x \ge 1$. Så nu har du ju kommit fram till att $x = -1$ är en lösning. Kan du göra något argument för att det inte kan finnas någon lösning då $x \ge 1$?

Stokastisk skrev :

Du kan börja med att notera att du har att

$x^3 + 1 = \sqrt{x^2 - 1}$

Nu är ju HL alltid icke negativt. Detta innebär att också VL måste vara icke negativt. Så om vi ska ha en lösning så måste $x \ge -1$. Men samtidigt så måste $x^2 \ge 1$ eftersom annars blir det negativt i kvadratroten. Därför får man att antingen är $x = -1$ eller så är $x \ge 1$. Så nu har du ju kommit fram till att $x = -1$ är en lösning. Kan du göra något argument för att det inte kan finnas någon lösning då $x \ge 1$?

Efter som x^3 är alltid större än x^2 då x är >1 så kan inte vänster ledet vara lika med höger ledet och om x är 1 så är VL=2 och HL=0?

Ja, mycket bra! Så då vet du alltså att x = -1 är enda lösningen.

Stokastisk skrev :

Ja, mycket bra! Så då vet du alltså att x = -1 är enda lösningen.

Dock så löste jag det här utan att riktigt använda något riktigt bevis eller matematisk språk och redovisning. Skulle du kunna visa hur man gör en fullständigt lösning/ hur du skulle göra?

Du misstolkar vad matematiskt språk/bevis är. Att bara använda ord på det sättet du gjorde är helt okej. Matematiska formler och härledningar är ju bara en del av ett resonemang och det är själva resonemanget som är det viktiga i matematiken (ungefär). Så att presentera ett resonemang i ord är helt och hållet okej och jag tycker att sättet du sa att det inte kan finnas en lösning då $x \ge 1$ är absolut en A+ förklaring rent matematiskt.

Stokastisk skrev :

Du misstolkar vad matematiskt språk/bevis är. Att bara använda ord på det sättet du gjorde är helt okej. Matematiska formler och härledningar är ju bara en del av ett resonemang och det är själva resonemanget som är det viktiga i matematiken (ungefär). Så att presentera ett resonemang i ord är helt och hållet okej och jag tycker att sättet du sa att det inte kan finnas en lösning då $x \ge 1$ är absolut en A+ förklaring rent matematiskt.

Finns det något generellt sätt att lösa en tredjegradsekvation? För man brukar inte kunna bara  se lösningar så lätt. Jag har sett Cardanos formel men förstår inte det helt. 

Det är i princip Cardanos formel som gäller om man ska ha ett generellt sätt att lösa dem på. Men det är generellt inget man gör, antingen kan man lyckas gissa sig till en rot, eller så använder man en dator (som använder Cardanos formel) för att få fram lösningarna om man ska lösa en tredjegradare.

Stokastisk skrev :

Det är i princip Cardanos formel som gäller om man ska ha ett generellt sätt att lösa dem på. Men det är generellt inget man gör, antingen kan man lyckas gissa sig till en rot, eller så använder man en dator (som använder Cardanos formel) för att få fram lösningarna om man ska lösa en tredjegradare.

Jaha, då får jag försöka lära mig det. Försöker bara gå igenom några enstaka uppgifter inför skolornas matematiktävling imorgon (tror inte jag kommer klara någon uppgift men det är alltid kul med problemlösning).

Ja men då får jag nu tacka dig för all hjälp du har givit!

Du behöver absolut inte lära dig den formeln för att lösa några problem därifrån, så lägg ingen tid på det! Det är absolut ingen som kommer anta att någon kan det lösningssättet utantill.

Stokastisk skrev :

Du behöver absolut inte lära dig den formeln för att lösa några problem därifrån, så lägg ingen tid på det! Det är absolut ingen som kommer anta att någon kan det lösningssättet utantill.

Är uppgifterna baserade på ma1 till ma5? Det verkar finnas svårare complexa tal och trigonametri från ma4 men är bara på ma3c just nu, vi läste precis om derivata. Är det bättre att skippa tävligen nu och göra det nästa år kanske? Missar många lektioner pga. tävligen. Lösningarna till uppgifterna liknar inget jag har sett förut, antar att tävligen är för de som är begåvad.

Jag kan inte riktigt svara på vilka kurser som kommer täckas. Men jag skulle säga att om man vill prestera bra på en sådan där tävling så ska man nog öva specifikt inför det. Det är oftast inte uppgifter man normalt hittar i vanliga kurser. Om du ska delta eller ej kan jag inte svara på, gör som du känner :)

Stokastisk skrev :

Jag kan inte riktigt svara på vilka kurser som kommer täckas. Men jag skulle säga att om man vill prestera bra på en sådan där tävling så ska man nog öva specifikt inför det. Det är oftast inte uppgifter man normalt hittar i vanliga kurser. Om du ska delta eller ej kan jag inte svara på, gör som du känner :)

Ok, tack för tipsen.

Hej Zeshen!

Din ekvation är samma sak som ekvationen

    $x^3 +1 = \sqrt{x^2-1}.$

Vilka slags tal ($x$) kan tänkas uppfylla denna ekvation?

1. För det första, eftersom man bara kan beräkna kvadratrot för icke-negativa tal så måste $x^2-1 \geq 0,$  vilket säger att $x$ måste ligga i mängden $(-\infty,-1]\cup [1,\infty)$.
2. För det andra, en kvadratrot är aldrig ett negativt tal, vilket säger att $x^3+1 \geq 0;$ detta säger att $x$ måste ligga i mängden $[-1,\infty)$.

Dessa två krav, som talet $x$ måste uppfylla för att ekvationen ska vara möjlig, medför att $x$ måste ligga i mängden $\{-1\}\cup[1,\infty);$ såpass mycket kan man alltså säga utan att faktiskt lösa ekvationen.

Om talet $x$ löser ekvationen så följer det att talet också löser ekvationen $(x^3+1)^2 = x^2-1;$ notera att det omvända påståendet inte är sant. Denna ekvation är samma sak som ekvationen

    $x^6 + 2x^3 - x^2 + 2 = 0.$

Om denna ekvation har rationella lösningar så finner man dem bland (positiva och negativa) heltalsfaktorer av högstagradskoefficienten (1) och den konstanta termen i polynomet (2). Man ser att $x = -1$ är en lösning till ekvationen $(x^3+1)^2 = x^2-1;$ den är också en lösning till ekvationen $x^3+1=\sqrt{x^2-1}.$

För att undersöka om ekvationen

    $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$

har några lösningar i intervallet $[1,\infty)$ så kan man notera att för sådana tal $x$ är talet $x^6+2x^3-x^2+2 \geq 1+2-x^2+2,$ det vill säga

    $x^6+2x^3-x^2+2 \geq 5-x^2.$

Talet $5-x^2 > 0$ om talet $x$ ligger i intervallet $[1,\sqrt{5})$, vilket betyder att om ekvationen $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$ har några lösningar i intervallet $[1,\infty)$ så måste de ligga i intervallet $[\sqrt{5},\infty).$ (Talet $\sqrt{5} \approx 2.236.$)

Om talet $x > 2$ så är talet $x^6+2x^3-x^2+2 > 82-x^2,$ vilket medför att om ekvationen $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$ har några lösningar i intervallet $[\sqrt{5},\infty)$ så måste de ligga i intervallet $[\sqrt{82},\infty).$ (Talet $\sqrt{82} \approx 9.055.$)

Om talet $x > 9$ så är talet $x^6+2x^3-x^2+2 > 532901 - x^2,$ vilket medför att om ekvationen $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$ har några lösningar i intervallet $[\sqrt{82},\infty)$ så måste de ligga i intervallet $[\sqrt{532901},\infty).$ (Talet $\sqrt{532901} \approx 730.$)

Fortsätter man på detta sätt så ser man att ekvationen $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$ saknar lösningar i intervallet $[1,\infty).$

Resultat: Ekvationen $x^3 + 1 - \sqrt{x^2-1} = 0$ har den enda reella lösningen $x = -1.$

Albiki

Hej Zeshen!

Ett enklare sätt att visa att ekvationen $x^6+2x^3-x^2+2 = 0$ saknar lösningar som ligger i intervallet $[1,\infty)$ är att göra som du tänkte: Talen $x^6 \geq x^2$ och $x^3 \geq x^2$ vilket ger olikheten

    $x^6+2x^3-x^2+2 \geq 2x^2+2 > 2$.

Din tankegång var mycket smartare än min.

Albiki