Ekvationslösning 4

Börja med att beräkna siffervärdet för  10^lg4  så blir allt mycket enklare...

Kan jag göra såhär? 

$x = lg 4$

genom att följa den första logaritmlagen

abcdefghijklmo skrev:

Kan jag göra såhär? 

$x = lg 4$

genom att följa den första logaritmlagen

Nej. Följ Arktos tips istället. Hur mycket är 10^lg4?

Hur gör jag det?

abcdefghijklmo skrev:

Hur gör jag det?

Tänk såhär:
$$\begin{gathered} {10}^{lg\left(a\right)}=b \\ lg\left(a\right)·lg10=lg\left(b\right) \\ lg\left(a\right)=lg\left(b\right) \end{gathered}$$

Använd samma resonemng för att beräkna ${10}^{lg4}$.

Men vad är b vid det här laget?

abcdefghijklmo skrev:

Men vad är b vid det här laget?

$b$ är värdet på ${10}^{lg\left(a\right)}$.

Vi vet att: 

${10}^{lg\left(4\right)} =?$

Men hur får jag reda på b?

abcdefghijklmo skrev:

Vi vet att: 

${10}^{lg\left(4\right)} =?$

Men hur får jag reda på b?

Börja med att kalla svaret (som vi inte känner till) $b$. Sen kan du med det resonemanget få ut $b$.

Okej, kan man säga att man gör en ekvation för att bryta ut lg åt ena sidan?

abcdefghijklmo skrev:

Okej, kan man säga att man gör en ekvation för att bryta ut lg åt ena sidan?

Du kallar värdet på ${10}^{lg4}$ $b$.

Då kan du göra följande resonemang:
$$\begin{gathered} {10}^{lg4}=b \\ lg4·lg10=lgb \\ lg4·1=lgb \\ lg4=lgb \\ \therefore b=4 \\ \therefore {10}^{lg4}=4 \end{gathered}$$

Förstår det du förklarade men vet ej hur jag kommer vidare ska jag köra lg på 10⁴ och på lg 4?

abcdefghijklmo skrev:

Förstår det du förklarade men vet ej hur jag kommer vidare ska jag köra lg på 10⁴ och på lg 4?

Det jag förklarade var att ${10}^{lg4}=4$, då kan du ju skriva om det i din ekvation till:
$4·4^x=4^{3x}$

Blir då 4^2x eftersom 4^2x $·$4^x är enligt potenslagarna 2x+x vilket är 3x som stämmer med ekvationen?

abcdefghijklmo skrev:

Blir då 4^2x eftersom 4^2x $·$4^x är enligt potenslagarna 2x+x vilket är 3x som stämmer med ekvationen?

Jag förstår inte vad du menar.

$$\begin{gathered} 4^{2x} ·4^x = 4^{3x} \\ 2x+x = 3x \\ Svar: 4^{2x} \end{gathered}$$

abcdefghijklmo skrev:

$$\begin{gathered} 4^{2x} ·4^x = 4^{3x} \\ 2x+x = 3x \\ Svar: 4^{2x} \end{gathered}$$

Det står ju $4·4^x=4^{3x}$, inte $4^{2x}·4^x=4^{3x}$.

Vad är ett bättre sätt att lösa den på?

Så här tänkte jag!

Logaritmer fungerar så här. lg 4 betyder hur mycket man behöver "höja upp" 10 med för att få 4. Så om du sätter lg4 som exponent i 10 (${10}^{lg4}$) kommer du få 4. 

Det gäller alltid. Samma sak med lgx, logaritmen i bas 10 (lg) beskriver vad exponenten över 10 ska vara för att du ska få x. 

Nu vet du att 10^lg4 = 4. 

Du har då: $4*4^x=4^{3x}$

Det är samma sak som: $4^{x+1}=4^{3x}$, enligt potensregler.

Nu kan du använda dig av logaritmera allting och få:
$\log 4^{x+1}=\log 4^{3x}$, vilket enligt logaritmlagarna är samma sak som:

$(x+1)\hspace{0.17em}*\hspace{0.17em}\log 4 =\hspace{0.17em}3x *\hspace{0.17em}\log 4$, du kan plocka ur exponenterna från logaritmen och sätta de framför som en faktor.

Nu kan du dela bort log4 från båda sidor.

Det som står kvar är $x + 1 =\hspace{0.17em}3x$

Från det kan du lösa ut vad x är tror jag. 

Jag fick det till att x = 1/2 

x+1=3x

-x+1=3x-x

1=2x

1/2=2/2

x=1/2

Ja det stämmer! Förstår du hur jag tänkte? Logaritmlagarna är lite abstrakta, men när det släpper kommer det kännas finfint. 

Tack för förklaringen, nu blev det tydligare!

ingen fara :)