Ekvationer och logaritmer

Jag skulle nog börja med att skriva om exponentialfunktionerna så att de har samma bas (t.ex 2 är lämpligt här). 

Hint:

$$\begin{gathered} 8^{3x}={\left(2^3\right)}^{3x}=2^{3·3x}=2^{9x}. \\ {4}^x={\left(2^2\right)}^x=2^{2·2x}=2^{4x}. \end{gathered}$$

Tack, nu förstår jag hur jag ska lösa denna uppgift. Men hur skulle jag göra på en uppgift som istället ser ut på följande sätt:

2^5x = 0,5 • 10^x

Kan jag göra på liknande sätt? 

Ja, i princip går det på samma sätt, men du får då använda dig av logaritmer.

Dr. G skrev :

Ja, i princip går det på samma sätt, men du får då använda dig av logaritmer.

Hur menar du att jag ska göra? 

Kan du t.ex skriva 2 som 10^(någonting)? Vad är då detta "någonting"? 

Hej!

Ekvationen 2^(5x) = 0.5*10^x är samma sak som ekvationen 2^(5x+1) = 10^x. Logaritmera ekvationens båda led (med tio-logaritmen) för att få ekvationen (5x+1)lg(2) = x. Detta är samma sak som ekvationen (1-5lg(2))x = lg(2).

Albiki

Menar du: ${10}^{\log \left(2\right)}$

Jag har försökt flera gånger men kommer fortfarande fram till fler svar: 

$$\begin{gathered} 2^{5x} = 0,5 \times {10}^x \\ {10}^{(5x \times lg2) }=\hspace{0.17em}0,5 \times {10}^x \\ \frac{{10}^{(5x \times lg 2)}}{{10}^x} = 0,5 \\ {10}^{(5x \times lg 2 -x)\hspace{0.17em}}=\hspace{0.17em}0,5 \\ (5x \times lg 2 - x)\hspace{0.17em}\times lg 10 =\hspace{0.17em}lg 0,5 \\ 5x -x =\hspace{0.17em}\frac{lg 0,5}{(lg 10 \times lg 2)} \\ x = -0,25 \end{gathered}$$

Enligt facit ska svaret bli att x är ungefär lika med -0,596. Jag förstår inte vad jag gör för fel och skulle behöva hjälp med att rätta till det

Det ser ut att allt i din lösning gick bra, utom den näst sista omskrivningen. Notera att$5x·lg2 -x =(5 lg2 -1)x$

Denrosagrodan skrev :

Jag har försökt flera gånger men kommer fortfarande fram till fler svar: 

 

$$\begin{gathered} 2^{5x} = 0,5 \times {10}^x \\ {10}^{(5x \times lg2) }=\hspace{0.17em}0,5 \times {10}^x \\ \frac{{10}^{(5x \times lg 2)}}{{10}^x} = 0,5 \\ {10}^{(5x \times lg 2 -x)\hspace{0.17em}}=\hspace{0.17em}0,5 \\ (5x \times lg 2 - x)\hspace{0.17em}\times lg 10 =\hspace{0.17em}lg 0,5 \\ 5x -x =\hspace{0.17em}\frac{lg 0,5}{(lg 10 \times lg 2)} \\ x = -0,25 \end{gathered}$$

Enligt facit ska svaret bli att x är ungefär lika med -0,596. Jag förstår inte vad jag gör för fel och skulle behöva hjälp med att rätta till det

Du krånglar till det lite i onödan, men det går att räkna som du gör.

Felet du gör ligger i steget där du dividerar med lg(10) och lg(2).

lg(10) = 1 per definition och lg(2) är inte en faktor du kan bryta ut ur VL.

Om du ska gå vidare därifrån så blir det:

$\left(5x·lg\left(2\right) - x\right)·lg\left(10\right) = lg\left(0,5\right)$

lg(10) = 1 så vi får

$5x·lg\left(2\right) - x= lg\left(0,5\right)$

Bryt ut x ur VL:

$x·\left(5·lg\left(2\right) - 1\right) = lg\left(0,5\right)$

Nu klarar du resten själv.

Tack för hjälpen! Misstänkte att felet låg där... Vad menar du med att jag krånglar till det i onödan? Finns det någon lämpligare metod att göra det på som du föredrar? 

Hej Denrosagrodan!

Det finns en kortare lösning på problemet: Jämför min (korta) lösning med din (långa) lösning.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Ekvationen 2^(5x) = 0.5*10^x är samma sak som ekvationen 2^(5x+1) = 10^x. Logaritmera ekvationens båda led (med tio-logaritmen) för att få ekvationen (5x+1)lg(2) = x. Detta är samma sak som ekvationen (1-5lg(2))x = lg(2).

 

Förstår inte riktigt alla steg i din uträkning. Skulle du kunna förklara lite mer varför det blir som det blir i det första steget, dvs hur du får bort faktorn 0,5 och vart ettan i VL kommer ifrån? 

Denrosagrodan skrev :

Albiki skrev :

Hej!

Ekvationen 2^(5x) = 0.5*10^x är samma sak som ekvationen 2^(5x+1) = 10^x. Logaritmera ekvationens båda led (med tio-logaritmen) för att få ekvationen (5x+1)lg(2) = x. Detta är samma sak som ekvationen (1-5lg(2))x = lg(2).

 

Förstår inte riktigt alla steg i din uträkning. Skulle du kunna förklara lite mer varför det blir som det blir i det första steget, dvs hur du får bort faktorn 0,5 och vart ettan i VL kommer ifrån? 

2^(5x) = 0.5*10^x  Multiplicera bägge led med 2. Då får du

2*2^(5x) = 2*0.5*10^x  som du kan förenkla till

2*2^(5x) = 1*10^x  <=> 2^(5x+1) = 10^x  eftersom 2^(a)*2^(b) = 2^(a+b)