Ekvationer med potenser

Det är rätt, men du kan göra det lite mer tydligt. Egentligen tar du ju logaritmer på båda sidor för att bli av med baserna, eller hur?

$2^{5x-2}=2^x$

$\log_2(2^{5x-2})=\log_2(2^x)$

$5x-2=x$

På b-uppgiften använder du även potenslagen som säger

$a^b \cdot a^c=a^{b+c}$

Var tydlig med att visa hur du räknar.

Välkommen till Pluggakuten! Ja, det går bra! Om du vill kan du logaritmera båda leden, så ser du att det blir samma sak som du fått ut:

$2^{5x-2}=2^x$
${\log }_2\left(2^{5x-2}\right)={\log }_2\left(2^x\right)$
$5x-2=x$

Sedan är det bara att lösa ekvationen. Ett tips är också att du prövar lösningarna, så vet du att du gjort rätt. :)

Tack så mycket! Jag repeterar logaritmer :)

Min metod för fortsättningen av ekvationerna ser ut så här:

a, forts)

5x-2=x

antag att x=0,5 ger

5*0,5-2=0,5

2,5-2=0,5

0,5=0,5 

b, forts)

3x-5=x

antag att x=2,5 ger

3*2,5-5=2,5

7,5-5=2,5

2,5=2,5

Smutstvätt, var det vad du menade med att prova lösningarna? Är det en ok metod att prova sig fram med olika värden tills det blir rätt? (på ett kladdpapper och sedan skriva över det i uträkningen)

mvh madeleine

Det var inte riktigt så jag menade med att pröva lösningarna. När du prövar en lösning har du fått fram ett svar, i detta fall ett värde på x, och sätter in det värdet i ursprungsekvationen. Om båda led blir identiska, då stämmer svaret. 

När det är en sådan enkel ekvation kan det godtas som lösningsmetod att bara prova sig fram, men det är bättre om du löser ekvationerna genom algebraisk ekvationslösning. 

Att pröva sig fram är en användbar och tillåten metod (om det inte står annorlunda i uppgiften), men den kan vara förfärligt tidsödande. Lös ekvationen istället, så samma sätt som du gjorde i Ma1! Jag visar hur man gör på den första uppgiften, så hoppas jag att du löser b-uppgiften själv:

$5x-2=x$     addera 2 på båda sidor, subtrahera x på båda sidor (man kan även kalla det att sortera termerna, så att man får alla x-termer på ena sidan och alla "vamnliga siffror" på andra sidan

$4x=2$     dividera med 4 på båda sidor (så att x blir ensamt)

$x=\frac{1}{2}$     klart!

Okej tack!

Hej!

Istället för att använda logaritmer kan du göra på följande sätt för att lösa exponentialekvationer. 

Uppgift a.

    $\displaystyle2^{5x-2}=2^{x} \Leftrightarrow \frac{2^{5x-2}}{2^{x}} = 1 \Leftrightarrow 2^{5x-2-x} = 1.$

Det finns bara ett enda tal $y$ som är sådant att $2^{y} = 1$, och det är talet $y=0$. Det betyder att $5x-2-x$ måste vara lika med noll, så att du har ekvationen

    $\displaystyle 4x = 2$

vars enda lösning är $x = 0.5.$

Uppgift b. 

Ekvationen är samma sak som

    $\displaystyle 2^{3x-5} = 2^{x},$

som du skriver som

    $\displaystyle\frac{2^{3x-5}}{2^{x}} = 1.$

Det betyder att $3x-5-x = 0$ så att du har att lösa ekvationen

    $\displaystyle 2x = 5$

vars enda lösning är $x = 2.5$.

Tack så mycket för förklaringarna allihopa! Jag förstår regeln mycket bättre nu :)