Ekvationer med komplexa tal

Hej! Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår varför jag inte får rätt svar på. Uppgiften går ut på att man ska lösa ekvationen

$z ² = \frac{2 \sqrt{3} + 2 i}{\sqrt{3} - i}$

Jag började med att göra om täljare och nämnare till polär form. Då gjorde jag såhär:

$|2 \sqrt{3} + 2 i| = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 \cdot 3 + 4} = \sqrt{16} = 4 a r g (2 \sqrt{3} + 2 i) = a r c \tan (\frac{2}{2 \sqrt{3}}) = 30 ° 2 \sqrt{3} + 2 i = 4 (\cos 30 ° + i \sin 30 °) |\sqrt{3} - i| = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{4} = 2 a r g (\sqrt{3} - i) = a r c \tan (\frac{- 1}{\sqrt{3}}) = 150 ° \sqrt{3} - i = 2 (\cos 150 ° + i \sin 150 °)$

och sedan delade jag dem med varandra och fick vad z² blir på polär form. Det löste jag sedan med de Moivres formel, och fick att ena lösningen blir $z = \sqrt{2} (\cos (- 60 °) + i \sin (- 60 °))$ , men det är fel. Facit visade också att man kunde lösa det genom att rita upp täljaren och nämnarna som vektorer och ta reda på vinklarna den vägen, och då får man ett annat argument för $\sqrt{3} - i$ .

Mitt problem här är att jag inte fattar varför det ger rätt svar, men min lösning inte gör det? Vad spelar det liksom för roll att rita upp det i ett koordinatsystem istället?

Hej. Bra tanke och bra början.

Men det har smugit sig in ett litet fel när du omvandlade nämnaren till polär form.

Markera $\sqrt{3}-i$ i det komplexa talplanet.

Då ser du kanske att argumentet inte är 150°?

Jo, det är ju sant. Måste man alltid rita upp det så för att ta fram argumentet? För det fungerade ju okej att inte göra det med täljaren, men det kanske bara är för att både den reella och den imaginära delen var positiva och därför hamnar i första kvadranten?

Eftersom tangensfunktionen är periodisk med period 180° så kommer arctan att ge en vinkel I ett 180°-intervall.

Vi tar de två komplexa talen 1+i och -1-i som exempel.

Det ena talet har ju argumentet 45° och det andra talet har argumentet 225° (rita!).

Om du använder v = arctan(imaginärdel/realdel) för att få fram argumentet för 1+i så kommer du att få.att v = arctan(1/1) = arctan(1) = 45°, vilket stämmer.

Men om du använder samma metod för att få fram argumentet för -1-i så kommer du att få fel resultat, eftersom det även i detta fallet blir arctan(-1/-1) = arctan(1) = 45°

Du måste alltså alltid kontrollera resultatet av arctan för att se att du hamnar i rätt kvadrant och läggavm till/dra ifrån 180° vid behov

Läs gärna denna artikel om komplexa tal på polär form och fråga oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Okej, då klarnar det lite. Ska komma ihåg att alltid kontrollera efteråt, tack! :)

Sorry, ser nu att jag glömde lägga in länken till artikeln.

Här är den.

djungelskog skrev:
Hej! Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår varför jag inte får rätt svar på. Uppgiften går ut på att man ska lösa ekvationen

$z ² = \frac{2 \sqrt{3} + 2 i}{\sqrt{3} - i}$

Går också att lösa genom att helt enkelt förenkla HL. Då börjar du med att förlänga med nämnarens komplexkonjugat.

Svara

Visa senaste svar