Ekvationer med känd reell rot (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Du kan lösa b-uppgiften på flera sätt.

1. Eftersom du vet att $z_1=2i$ är en lösning så är $z_1$ ett nollställe till polynomet $P(z)=z^3+az^2+bz-20$ , vilket innebär att $(z-z_1)$ är en faktor i polynomet $P(z)$ . Du kan därför dividera $P(z)$ med $(z-z_1)$ och få ett polynom av lägre grad. Detta polynoms två nollställen är lika med ekvationens övriga rötter.

2. Du kan använda att ekvationens rötter kommer i komplexkonjugerade par. Det ger dig omedelbart den andra komplexa roten. Sen återstår endast en (reell) rot.

Hej!

Att polynomet $p(z)$ är delbart med polynomet $z+2$ medför att de två polynomen är lika med noll samtidigt; för samma z-värde. Polynomet $z+2$ är lika med noll när $z=-2$ så då är $p(-2)$ lika med noll också; det ger dig en ekvation som konstanten $a$ måste uppfylla.

$\displaystyle a^2-2a-8=0\quad\Leftrightarrow\quad a=1\pm3.$

Albiki skrev:
Hej!
Att polynomet $p(z)$ är delbart med polynomet $z+2$ medför att de två polynomen är lika med noll samtidigt; för samma z-värde. Polynomet $z+2$ är lika med noll när $z=-2$ så då är $p(-2)$ lika med noll också; det ger dig en ekvation som konstanten $a$ måste uppfylla.
$\displaystyle a^2-2a-8=0\quad\Leftrightarrow\quad a=1\pm3.$

Hej! Ja, jag fick ut a) tidigare, men jag frågade om lösning till b).

Yngve skrev:
Du kan lösa b-uppgiften på flera sätt.
1. Eftersom du vet att $z_1=2i$ är en lösning så är $z_1$ ett nollställe till polynomet $P(z)=z^3+az^2+bz-20$ , vilket innebär att $(z-z_1)$ är en faktor i polynomet $P(z)$ . Du kan därför dividera $P(z)$ med $(z-z_1)$ och få ett polynom av lägre grad. Detta polynoms två nollställen är lika med ekvationens övriga rötter.
2. Du kan använda att ekvationens rötter kommer i komplexkonjugerade par. Det ger dig omedelbart den andra komplexa roten. Sen återstår endast en (reell) rot.

Hej!

Tror du kollade på fel fråga. Jag frågade efter 4194.

Sätt in de värden på a som du har fått fram i ursprungsekvationen. Lös de båda ekvationerna.

Smaragdalena skrev:
Sätt in de värden på a som du har fått fram i ursprungsekvationen. Lös de båda ekvationerna.

Då blir det ju en tredjegradsekvation, vilket jag inte får ut.

Z går inte att bryta ut.

Dividera tredjegradspolynomet med z-2 z+2, du vet ju att det är en faktor i polynomet.

EDIT: felskrivning

Fredrikottenfelt skrev:
Hej!
Tror du kollade på fel fråga. Jag frågade efter 4194.

Ja ojdå hoppsan.

Fredrikottenfelt skrev:
Smaragdalena skrev:
Sätt in de värden på a som du har fått fram i ursprungsekvationen. Lös de båda ekvationerna.
Då blir det ju en tredjegradsekvation, vilket jag inte får ut.
Z går inte att bryta ut.

Eftersom p(z) är delbart med z+2 så är z+2 en faktor i p(z). Du kan alltså bryta ut z+2.

Jag får 24z i rest när a=4 --> faktor z-4.

(Fick ut rätt svar med faktor z+2 :D)

Men det ska totalt bli 4 svar (exklusive positiv och negativ lösning från pq). När z+2 är en faktor så skall det även bli z=2.

Om du visar dina beräkningar så har vi en chans att hjälpa dig att hitta var det eventuellt har gått fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.

Har du satt in båda dina värden på a och kollat vilka lösningar du får?

Smaragdalena skrev:
Om du visar dina beräkningar så har vi en chans att hjälpa dig att hitta var det eventuellt har gått fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.
Har du satt in båda dina värden på a och kollat vilka lösningar du får?

Edit: Ja, men jag måste först dividera bort z^3 så jag kan få en pq. Men när jag substituerar in a=4 i ekvationen så får jag rest och som i sin tur inte leder till att jag får ut z. Jag testade att lösa ekvationen med rest, men fick fel svar.

Du skall dela polynomen $p(z)=z^3+4z+16$ respektive $p(z)=z^3-2z+4$ med z+2, inte med z-4. Du vet ju att z+2 är en faktor i polynomet, så det kommer att gå jämnt ut.

Fredrikottenfelt skrev:
Smaragdalena skrev:
Om du visar dina beräkningar så har vi en chans att hjälpa dig att hitta var det eventuellt har gått fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.
Har du satt in båda dina värden på a och kollat vilka lösningar du får?

Edit: Ja, men jag måste först dividera bort z^3 så jag kan få en pq. Men när jag substituerar in a=4 i ekvationen så får jag rest och som i sin tur inte leder till att jag får ut z. Jag testade att lösa ekvationen med rest, men fick fel svar.

Du blandar ihop $a_1$ och $a_2$ med polynomets nollställen.

Att $a_1=4$ innebär alltså inte att ett nollställe är $z=4$ utan endast att polynomet i detta fallet är $p(z)=z^3+4z+16$ . Men du vet att detta polynom har en faktor $z+2$ , så du kan faktorisera polynomet enligt $z^3+4z+16=(z+2)q(z)$ , där $q(z)$ är ett polynom av grad 2.

På samma sätt, att $a_2=-2$ innebär att polynomet i detta fallet är $p(z)=z^3-2z+4$ . Du vet att även detta polynom har en faktor $z+2$ , så du kan faktorisera polynomet enligt $z^3-2z+4=(z+2)r(z)$ , där $r(z)$ är ett polynom av grad 2.

Båda dessa polynom $q(z)$ och $r(z)$ är av grad 2 och du kan lätt hitta deras nollställen, vilket ger dig de resterande lösningarna till ursprungsekvationen.

Yngve skrev:
Fredrikottenfelt skrev:
Smaragdalena skrev:
Om du visar dina beräkningar så har vi en chans att hjälpa dig att hitta var det eventuellt har gått fel. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning.
Har du satt in båda dina värden på a och kollat vilka lösningar du får?

Edit: Ja, men jag måste först dividera bort z^3 så jag kan få en pq. Men när jag substituerar in a=4 i ekvationen så får jag rest och som i sin tur inte leder till att jag får ut z. Jag testade att lösa ekvationen med rest, men fick fel svar.
Du blandar ihop $a_1$ och $a_2$ med polynomets nollställen.
Att $a_1=4$ innebär alltså inte att ett nollställe är $z=4$ utan endast att polynomet i detta fallet är $p(z)=z^3+4z+16$ . Men du vet att detta polynom har en faktor $z+2$ , så du kan faktorisera polynomet enligt $z^3+4z+16=(z+2)q(z)$ , där $q(z)$ är ett polynom av grad 2.
På samma sätt, att $a_2=-2$ innebär att polynomet i detta fallet är $p(z)=z^3-2z+4$ . Du vet att även detta polynom har en faktor $z+2$ , så du kan faktorisera polynomet enligt $z^3-2z+4=(z+2)r(z)$ , där $r(z)$ är ett polynom av grad 2.
Båda dessa polynom $q(z)$ och $r(z)$ är av grad 2 och du kan lätt hitta deras nollställen, vilket ger dig de resterande lösningarna till ursprungsekvationen.

Men då måste jag alltså dela polynomet på samma faktor som jag gjorde när a=-2? Löste svaret z = 1 $\pm$ i med faktorn z+2.

Men då måste förstås z=-2 vara en lösning till båda ekvationerna, eftersom det är en faktor till båda av dessa? Har jag fel?

Fredrikottenfelt skrev:
Men då måste jag alltså dela polynomet på samma faktor som jag gjorde när a=-2? Löste svaret z = 1 $\pm$ i med faktorn z+2.
Men då måste förstås z=-2 vara en lösning till båda ekvationerna, eftersom det är en faktor till båda av dessa? Har jag fel?
...

Ja det stämmer att $z=-2$ är en lösning till båda ekvationerna eftersom båda polynomen har detta nollställe.

-------------------------------

Om $a=4$ så är polynomet $p(z)=z^3+4z+16=(z+2)(z^2-2z+8)$

Vi känner redan till nollstället $z_1=-2$ .

De andra två nollställena får vi genom att lösa ekvationen $z^2-2z+8=0$ , vilket ger oss $z=1\pm i\sqrt{7}$

Denna ekvation har alltså lösningarna $z_1=-2$ , $z_2=1+i\sqrt{7}$ och $z_3=1-i\sqrt{7}$

-----------------------------

Om $a=-2$ så är polynomet $p(z)=z^3-2z+4=(z+2)(z^2-2z+2)$

Vi känner redan till nollstället $z_1=-2$ .

De andra två nollställena får vi genom att lösa ekvationen $z^2-2z+2=0$ , vilket ger oss $z=1\pm i$

Denna ekvation har alltså lösningarna $z_1=-2$ , $z_2=1+i$ och $z_3=1-i$

Ja det stämmer att $z=-2$ är en lösning till båda ekvationerna eftersom båda polynomen har detta nollställe.
-------------------------------
Om $a=4$ så är polynomet $p(z)=z^3+4z+16=(z+2)(z^2-2z+8)$
Vi känner redan till nollstället $z_1=-2$ .
De andra två nollställena får vi genom att lösa ekvationen $z^2-2z+8=0$ , vilket ger oss $z=1\pm i\sqrt{7}$
Denna ekvation har alltså lösningarna $z_1=-2$ , $z_2=1+i\sqrt{7}$ och $z_3=1-i\sqrt{7}$
-----------------------------
Om $a=-2$ så är polynomet $p(z)=z^3-2z+4=(z+2)(z^2-2z+2)$
Vi känner redan till nollstället $z_1=-2$ .
De andra två nollställena får vi genom att lösa ekvationen $z^2-2z+2=0$ , vilket ger oss $z=1\pm i$
Denna ekvation har alltså lösningarna $z_1=-2$ , $z_2=1+i$ och $z_3=1-i$ Y
Men då måste jag alltså dela polynomet på samma faktor som jag gjorde när a=-2? Löste svaret z = 1 $\pm$ i med faktorn z+2.
Men då måste förstås z=-2 vara en lösning till båda ekvationerna, eftersom det är en faktor till båda av dessa? Har jag fel?
...

Yes, precis!

Bra att få reflektera över svaren såhär. Tack för all hjälp!