Ekvationer med absolutbelopp
x2-|x|=0
Vid en ekvation med absolutbelopp måste man ju ta hänsyn till två scenarion: om x är positivt och om x är negativt. Min fråga är om detta gäller för alla x i ekvationen, eller endast för x:et inom absolutbeloppssymbolerna. För att visa vad jag menar så skriver jag två lösningar till ekvationen, som i detta fall har ger samma (korrekta) svar. Vilken av lösningarna/sätten att tänka är korrekt? Finns det något bättre exempel på en ekvation där man får ett inkorrekt svar om man tänker på det felaktiga sättet?
Lösning 1:
Om x i |x| ≥ 0:
x2 - x = 0
x(x-1)=0
x1 =0
x2 = 1
Om x i |x|<0:
x2 -(-x)=0
x2 + x = 0
x(x+1)=0
x1 = 0 (Inte en lösning eftersom att 0 inte är mindre än 0)
x2 = -1
Svar: x1 = 0, x2 = 1, x3 = -1
Lösning 2:
Om x ≥ 0:
x2 - x = 0
x(x-1)=0
x1 =0
x2 = 1
Om x <0:
(-x)2 -(-x)=0
x2 + x = 0
x(x+1)=0
x1 = 0 (Inte en lösning eftersom att 0 inte är mindre än 0)
x2 = -1
Svar: x1 = 0, x2 = 1, x3 = -1
maaja skrev:x2-|x|=0
Vid en ekvation med absolutbelopp måste man ju ta hänsyn till två scenarion: om x är positivt och om x är negativt. Min fråga är om detta gäller för alla x i ekvationen, eller endast för x:et inom absolutbeloppssymbolerna.
Du delar upp definitionsmängden i de två intervallen och (eller, om du vill, i och ).
Eftersom x i x2 är samma x som x i |x| så gäller intervallbegränsningen för båda x.
Men du ska inte ersätta x med -x i intervallet där x < 0, eftersom det där inte gäller att x = -x
Istället ska du där ersätta |x| med -x.
Lösning 2 är alltså inte korrekt, även om den i detta fallet råkade ge rätt svar.
Var det svar på din fråga?
Yngve skrev:maaja skrev:x2-|x|=0
Vid en ekvation med absolutbelopp måste man ju ta hänsyn till två scenarion: om x är positivt och om x är negativt. Min fråga är om detta gäller för alla x i ekvationen, eller endast för x:et inom absolutbeloppssymbolerna.
Du delar upp definitionsmängden i de två intervallen och (eller, om du vill, i och ).
Eftersom x i x2 är samma x som x i |x| så gäller intervallbegränsningen för båda x.
Men du ska inte ersätta x med -x i intervallet där x < 0, eftersom det där inte gäller att x = -x
Istället ska du där ersätta |x| med -x.
Lösning 2 är alltså inte korrekt, även om den i detta fallet råkade ge rätt svar.
Var det svar på din fråga?
Jo, det svarade nog på frågan. Finns det något exempel på en ekvation där det inte skulle ge rätt svar om man gjorde som i lösning 2? Detta hade kanske kunnat förtydliga det lite.
Jag tror att det finns många exempel. Du "räddas" nog lite av att din x-term kvadreras. Men om du testar till exempel den här ekvationen får du nog problem om du använder metod 2:
maaja skrev:
Jo, det svarade nog på frågan. Finns det något exempel på en ekvation där det inte skulle ge rätt svar om man gjorde som i lösning 2?
T.ex. x3-|x| = 0
