Ekvationer i Z

Har ni lärt er Eulers sats?

Ja, men jag kommer inte ihåg hur man använder den

Försök använda den här, så ska vi se om den är till någon nytta.

$$\begin{gathered} \phi \left(21\right)=21(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=12 \\ {g}^{12}=1 {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{21} \end{gathered}$$

Om du skriver 2018 som a + 12b, där a < 12, vad kan man säga om g^a+12b då?

Men hur vet man att 2018 kan skrivas som a+12b?

Kan du dela 2018 med 12 och få en rest?

Menar du så; 2018 = 168·12+2 ?

Precis. Nu har du alltså att $g^{2018}\equiv g^2 (mod 21)$. Nu är potensen lite mer hanterbar i din ekvation.

hur går man vidare därifrån,

nu har jag att $g^2=1\left(mod21\right)$

vilket är samma som $g^2-1=0$. Vad är då g?

1?

One down, three to go! -1 är ju också en annan trivial lösning, så två kvar:

Vi har alltså ekvationen $g^2-1=0\iff (g+1)(g-1)=0 (mod 21)$. Så att g kan vara $\pm 1$ är klart. 21 kan primtalsfaktoriseras i 3*7.

Nu har vi två möjliga fall:

1) (g-1) delas av 3 och (g+1) delas av 7

eller tvärtom

2) (g-1) delas av 7 och (g+1) delas av 3.

I bägge dessa fall får vi en produkt som = 0 (mod 21).

Från detta kan du hitta de två återstående rötterna till $g^2-1=0 (mod 21).$

jag fick,

fall 1: g=1 mod21

fall 2: g=13 mod21

fall 3: g=8 mod21

fall 4: g=20 mod21