ekvationer

Skulle gissa på att du kan hitta lösningen genom att rita upp det komplexa talplanet

Vad man gör är att man skriver om $z$ på den allmänna formen för något komplext tal $a+bi$, detta innebär då:

${(a+bi)}^2=8i \Rightarrow a^2-b^2+2abi=0+8i$

För att denna ekvation ska vara sann så måste den reella delen på VL vara lika med den reella delen på VL, samma sak för den imaginära delen. Så vi får då följande ekvationsystem:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=0\\ 2abi=8i\end{array}\right.$

Vilket vi kan förenkla till:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2\\ ab=4\end{array}\right.$

Löser man detta system genom att lösa för antingen $a$eller $b$i något av de två ekvationerna och sedan stoppar in det i den andra ekvationen så får man fram två möjliga lösningar: $(a,b)=(2,2)$och $(a,b)=(-2,-2)$. Med andra ord så är de två lösningarna:

$\left\{\begin{array}{l}{z}_1=2+2i\\ z_2=-2-2i\end{array}\right.$

Alla ekvationer av typen zⁿ = a+bi har n stycken lösningar som ligger jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo.