Ekvationen z^n=w

Hej

Vissa hur du gör så kan vi hjälpa dig och hitta felet!

Okej, först skriver jag om det på polär form och använder de Moivres formel för att förenkla den:

$z^4=r^4(\cos 4v+i\sin 4v)$

Sen räknar jag ut r:

$$\begin{gathered} r^4=\left|z^4\right|=|-16|=16 \\ \Rightarrow r=2 \end{gathered}$$

$r^4(\cos 4v+i\sin 4v)=16(\cos v+i\sin v)$

Det är v i HL som blir fel tror jag. Tänkte att det borde vara 90° eftersom n=4 (360°/4=90°) men det ger vinkeln 90° vilket inte stämmer med facit. 

Vad skall $\cos4v+ \sin4v$ha för värde?

Använd formeln för dubbla vinkeln 2 ggr för att förenkla uttrycket.

Tack, men kan du förklara hur du menar? 

Nej, jag tänkte helt fel på andra raden (och eftersom du hann svara är det inte hederligt att ändra mitt förra inlägg).

Första raden är fortfarande riktig: Du vet vilket värde vinkeln 4v skall ha för att peka i riktningen mot talet -1 (och därmed även mot -16). Dela detta värde med 4 för att få fram vinkeln v. Detta är en lösning till ekvationen. Eftersom alla fjärdegradsekvationer har exakt 4 lösningar, finns det 3 lösningar till som ligger med vinkeln ett fjärdedels varv mellan varje (hade det varit en sjättegradsekvation hade de legat med 1/6 varv mellan varje).

"Du vet vilket värde vinkeln 4v skall ha för att peka i riktningen mot talet -1 (och därmed även mot -16)"

Okej hur ser jag vilket värde som ska vara 4v? och fick du -1 ifrån? Menar du att man ska tänka att -16 är i samma kvadrant som -1 i enhetscirkeln (eller är det ett komplext talplan man ska föreställa sig)? Och eftersom cos 180°= –1 => 4v=180° => v=45°+n·360 ? För det stämmer i iallafall med facit! :)

Ja, så kan man uttrycka det. Den polära formen för ett komplext tal ger ju dels avståndet från origo, dels vilken vinkel man skall gå från origo för att hamna i den önskade punkten. -1 och -16 ligger ju åt samma "väderstreck".

Nja, om 4v =180° så är v = 45° +n*90°. Där har du de fyra lösningarna, om du lägger till att r = 2 också.

Tack! =)