Ekvationen z^3=w har en rot (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Vad får du w till?

JohanF skrev:
Vad får du w till?

27i

Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i

Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)

Ok.

Den här typen av ekvationer har sina rötter jämt fördelade på en cirkel. Med 3 rötter blir det således 120 grader mellan varje rot.

JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)

vad menar du?

JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)

Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som

$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.

Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?

JohanF skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)
Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som
$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.
Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?

men hur vet jag att det är 90 grader?

Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)
Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som
$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.
Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?
men hur vet jag att det är 90 grader?

Aha! Det är det som du har problem med. Läs det här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)
Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som
$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.
Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?
men hur vet jag att det är 90 grader?
Aha! Det är det som du har problem med. Läs det här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

jag förstår det, men jag förstår inte hur man får fram argumentet när det som i detta fallet står 27i. är det när jag ritar upp det i talplanet att det hamnar på cos 90grader och sin 90grader?

Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)
Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som
$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.
Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?
men hur vet jag att det är 90 grader?
Aha! Det är det som du har problem med. Läs det här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel
jag förstår det, men jag förstår inte hur man får fram argumentet när det som i detta fallet står 27i. är det när jag ritar upp det i talplanet att det hamnar på cos 90grader och sin 90grader?

Ja. tex kan du rita, eller använda deMoivres formel. Men om du backar ett steg tillbaka till uppgiften, där $z_{1}$ angavs i polära koordinater, och börjar där. Istället för att först göra om det till rektangulära koordinater som du gjorde. Då blir det mycket tydligare att se varför lösningarna distribueras jämt fördelat på enhetscirkeln (som Ture nämnde).

Det är bara ett sätt att motivera VARFÖR de fördelas jämnt över enhetscirkeln.

Amanda9988 skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
JohanF skrev:
Amanda9988 skrev:
JohanF skrev:
Vad får du w till?
27i
Det är riktigt. Kan du skriva svaret i samma format (polär form) som roten var skriven med? (Förenkla inte svaret)
Du fick $w = z^{3} = 27 (\cos 90 ° + i \sin 90 °)$ , eller hur? Vilket är samma sak som
$z^{3} = 27 (\cos (90 ° + n \cdot 2 π) + isin (90 ° + n \cdot 2 π))$ när man tar hänsyn till periodiciteten av de trigonometriska funktionerna.
Kan du nu se vilka ytterligare två rötter som finns förutom den du redan har fått?
men hur vet jag att det är 90 grader?
Aha! Det är det som du har problem med. Läs det här:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel
jag förstår det, men jag förstår inte hur man får fram argumentet när det som i detta fallet står 27i. är det när jag ritar upp det i talplanet att det hamnar på cos 90grader och sin 90grader?

Jag tycker det ser bra ut. Du kan göra en sista koll att testa alla dina rötter i ursprungsekvationen för att se att du får ut resultatet 27i.