Ekvationen för ett plan
Bestäm ekvationen för ett plan som går genom punkten (0,3,1) och innehåller linjen (x,y,z) = (1,-2,1) + t( 1,2,5)
Jag tog först ut linjens riktningsvektor som är (1,2,5). Planets normalvekor måste vara vinkelrät mot linjens riktningsvektor. Skalärprodukten av vektorerna borde därför vara 0. Min fråga är om man kan uttrycka planets normalvekor på oändligt många sätt och på så sätt oändligt många sätt att beskriva planets ekvation? Jag har en punkt i planet (0,3,1) men normalvektorn borde kunna uttryckas på oändligt många sätt så länge som skalärprodukten blir noll? Tänker jag rätt?
I facit står det nämligen att planets ekvation är 25x + 5y - 7z -8 = 0. Visst är det bara ett exempel på planets ekvation?
//Erika
Det finns oändligt många sätt att skriva ekvationen på. Men enda skillnaden är en konstant multipel på de olika sätten.
Så exempelvis så är
50x + 10y - 14z - 16 = 0
ett annat sätt att skriva den på. Ett sätt som inte fungerar är
2x - y - 4 = 0
Notera dock att (2, -1, 0) är ortogonal mot vektorn (1, 2, 5)..
Stokastisk skrev :Det finns oändligt många sätt att skriva ekvationen på. Men enda skillnaden är en konstant multipel på de olika sätten.
Så exempelvis så är
50x + 10y - 14z - 16 = 0
ett annat sätt att skriva den på. Ett sätt som inte fungerar är
2x - y - 4 = 0
Notera dock att (2, -1, 0) är ortogonal mot vektorn (1, 2, 5)..
Hur vet du att det sättet inte fungerar?
Exempelvis så ligger inte punkten (0, 3, 1) i planet jag skrev.
Ett sätt att få fram vilket plan det måste vara är att ta vektorn som går från punkten (1, -2, 1) till (0, 3, 1). Sedan ta vektorprodukten mellan den vektorn och (1, 2, 5), detta ger en normal vektor till planet.
Ja, du kan skriva ett plans ekvation på oändligt många sätt. Detta innebär att du vid din lösningsgång bara behöver finna ett sådant sätt. (Det är vanligt att man skriver "planets ekvation ges t.ex. av ...".)
Tack nu förstår jag! :)
