ekvation (radianer) - ny uppg.

Prova att skriva 2 som $\sqrt{2}·\sqrt{2}$. Kan du förenkla något då? Känner du igen något värde från vinkeltabellen? :)

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Ok.

$$\begin{gathered} \cos (x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}} \\ x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}= {\cos }^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}·\sqrt{2}} \\ x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}= \frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ \mathrm{x}= \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{n}·\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Men nu är jag (åter) i ett läge där mitt svar inte stämmer med facit. Deras två alternativ är x=n*2pi eller x= pi/2 + n*2pi. Jag fattar inte. X motsvarar 90 grader. Så efter 90 grader finns det ett svar, sen plus varje 180 grader finns det ett till svar. 180 grader= pi. Varför är då deras svar n*360 grader? Och 90 grader + n*360 grader hoppar ju över svaret för 270 grader? Vad har jag rört ihop?

Det gäller att om $\cos \left(x\right)=y$ är även $\cos (-x)=y$. Du har tappat den negativa vinkeln.

Fast hur? Jag tänkte ju på just +-90 grader, men -90 grader är ju även 270 grader, så det borde innefattas i svaret "90 grader + n *180", som väl motsvarar $\frac{\mathrm{\pi }}{2}+n·\mathrm{\pi }$ ? Facit skriver inte heller plus/minus.

Nu har tankarna sprungit före matematiken! :) 

$$\begin{gathered} \cos \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \pm \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi } \\ x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Vad händer om högerledets bråk är negativt? :)

Alltså, ska jag använda formeln för cos (v-u) tidigare?

Håller på att försöka få till fallet där HLs bråk är negativt. Förstår att det blir (+)pi/4 -x , men därifrån får jag inte rätt på hur jag ska göra i VL. Ska plus/minus ändå stå i VL t.ex? Och jag måste väl flytta över pi/4?

Kommer det stå $-x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}+n·2\mathrm{\pi }$ ?? Blir det $x = - (\frac{\mathrm{\pi }}{2}+n·2\mathrm{\pi })$ ??

Nej, du behöver inte använda subtraktionsformeln. Du kommer till att

$\pm \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi }$. 

Dela upp detta i två fall, $\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi }$ (som du redan löst) och $-\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi }$. Genom att lyfta över minustecknet till högerledet behöver du inte vända på några tecken i parentesen, och du får $x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+n·2\mathrm{\pi }$. Vilka rötter har den ekvationen? :)

Aha, nu ser jag det. Adderar pi/4 i båda leden, och kvar i HL är n*2pi. Tack!

Bingo, varsågod!

Jag tycker denna figur förklarar principen för att lösa $\cos v=k$.

Anm 1 Vi noterar att såväl $\theta$ som $-\theta$ ger upphov till samma x-koordinat, eller hur?

Anm 2 $n\in \mathbb{Z}$ betyder att n är ett heltal.

dr_lund skrev:

Jag tycker denna figur förklarar principen för att lösa $\cos v=k$.

Anm 1 Vi noterar att såväl $\theta$ som $-\theta$ ger upphov till samma x-koordinat, eller hur?

Anm 2 $n\in \mathbb{Z}$ betyder att n är ett heltal.

Jag tycker att enhetscirkeln är ännu bättre. Rita en rund ring - det behöver inte vara en perfekt cirkel. Rita ett kors genom cirkelns medelpunkt - det är koordinataxlarna. Rita dit ett lodrätt streck där x-värdet är (i det här fallet) $\sqrt2/2$, eller i runda slängar 0,7 (knappt 3/4). Det man behöver komma ihåg är att cosinus och sinus är i alfabetisk ordning precis som x och y - så cos(v) motsvarar ett visst x-värde (och därför en lodrät linje) medan sin(v) motsvarar ett visst y-värde (och därför en vågrät linje).