Ekvation på polär form

Upg: Lös ekvationen $z^{3} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i}$

Tänker att jag vill börja med att få bort imaginärdelen i nämnaren.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i} \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i + i \sqrt{3} + \sqrt{3}}{1 + 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} i$

Vilket motsvarar $x + i y$ . Vidare vill jag få ekvationen på formen $ρ e^{i φ} = r e^{i v}$ , $r > 0, ρ > 0$

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} - 1}{2})}^{2}} = \sqrt{2}$

$z^{3} = ρ^{3} e^{i 3 φ} = r e^{i v} \Leftrightarrow ρ^{3} = r = \sqrt{2} \Rightarrow ρ = 2^{1 / 6}$

$\cos v = \frac{x}{r} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \cos^{2} v = {(\frac{e^{i v} + e^{- i v}}{2})}^{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{8} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{8} \Leftrightarrow \frac{e^{i 2 v} + 2 + e^{- i 2 v}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{e^{i 2 v} + e^{- i 2 v}}{2} + 1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos (2 v) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 2 v = \pm \frac{π}{6} + 2 π n, n \in ℤ \Leftrightarrow v = \pm \frac{π}{12} + π n, n \in ℤ$

$\sin v = \frac{y}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin^{2} v = \frac{3 - 2 \sqrt{3} + 1}{8} \Leftrightarrow {(\frac{e^{i v} - e^{- i v}}{2 i})}^{2} = \frac{e^{i 2 v} - 2 + e^{- i 2 v}}{- 4} = \frac{e^{i 2 v} + e^{- i 2 v}}{- 4} + \frac{2}{4} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{e^{i 2 v} + e^{- i 2 v}}{- 4} = - \frac{\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{e^{i 2 v} + e^{- i 2 v}}{2} = \cos (2 v) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Här tänkte jag att jag skulle få ut en ekvation för sinv=... och då enbart ha en vinkel som svar.

Ekvationen i övrigt stämmer för $v = + \frac{π}{12} + π n, n \in ℤ$

men inte för motsvarande vinkel $v = - \frac{π}{24} + π n, n \in ℤ \Leftrightarrow v = \frac{11 π}{12} + π n, n \in ℤ$

med n = 0, 1, 2.

Tänker jag fel med att jag vill få en till ekvation för v för att kunna "isolera" vinkeln?

Att räkna multiplikation och division med komplexa tal i rektangulär form är ett otyg. Att räkna addition och subtraktion med komplexa tal i rektangulär form är inte särskilt svårt.

Att räkna multiplikation och division med komplexa tal i pollär form är inte särskilt svårt. Att räkna addition och subtraktion med komplexa tal i polär form är ett otyg.

Gör alltså om både täljaren och nämnaren till polär form innan du börjar dividera .

Tack för tipset!

Jag har provat att göra så som jag tolkade din uppmaning.

Täljare:

$1 + i \sqrt{3} \Rightarrow r = \sqrt{1 + 3} = 2 \cos v = \frac{1}{2} \Leftrightarrow v = \pm \frac{π}{3} + 2 π n, n \in ℤ \sin v = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow v = \frac{π}{3} + 2 π n, n \in ℤ, v = \frac{2 π}{3} + 2 π n, n \in ℤ$

$v = \frac{π}{3} + 2 π n, n \in ℤ$

Nämnare:

$1 + i \Rightarrow r = \sqrt{2} \cos v = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow v = \pm \frac{π}{4} + 2 π n, n \in ℤ \sin v = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow v = \frac{π}{4} + 2 π n, n \in ℤ, v = \frac{3 π}{4} + 2 π n, n \in ℤ v = \frac{π}{4} + 2 π n, n \in ℤ$

Omskrivning ger då

$z^{3} = \frac{2 e^{i (π / 3 + 2 πn)}}{\sqrt{2} e^{i (π / 4 + 2 πn)}} = \sqrt{2} e^{^{i (π / 3 + 2 πn)} - i (π / 4 + 2 πn)} = = \sqrt{2} e^{π / 12}$

Stämmer det att man ska subtrahera $2 πn$ ? Det krånglar till det lite i mitt huvud då de tre lösningarna för z förutsätter att n är med och att n = 0, 1, 2.

Du gör det mer komplicerat än du behöver. För vinklarna är det följande ekvationer du ska lösa:

$\cos (3 v) = \cos (\frac{π}{12}) \sin (3 v) = \sin (\frac{π}{12})$

Detta ger:

$3 v = \pm \frac{π}{12} + 2 π n, n \in ℤ$

Edit: Det ska naturligtvis inte vara ±-tecken framför argumentet. Vi har alltså:

$3 v = \frac{π}{12} + 2 π n, n \in ℤ$

Pompan skrev:
Stämmer det att man ska subtrahera $2 πn$ ? Det krånglar till det lite i mitt huvud då de tre lösningarna för z förutsätter att n är med och att n = 0, 1, 2.

Eftersom tillägget i detta fall beskriver en hel period kan den tas bort då den inte tillför någon information. Den komplexa funktonen $e^{z}$ har perioden $2 π i$ vilket betyder att $e^{i (v + 2 π n)} = e^{i v}$ för alla $n \in ℤ$ .

Perioderna kommer tillbaka sedan när du ska hitta rötterna:

$e^{i 3 φ} = e^{i v}$

Om vi nu tar den komplexa logaritmen på båda sidor (som också har perioden $2 π i$ ) måste vi addera perioden för funktionen:

$i 3 φ = i v + (2 π n) i, n \in ℤ$

Vilket om vi dividerar med den imaginära enheten ger:

$3 φ = v + 2 π n, n \in ℤ$

Svara

Visa senaste svar