Ekvation med realdelen 1

Du har en polynomekvation med reella koefficienter. Det innebär att alla komplexa rötter förekommer som konjugerade par. Om du alltså har en rot som är 1+bi, så har du också en rot som är 1-bi. Multiplicera ihop dessa båda rötter, så får du fram ett polynom som det går bättre att dela med. Du kan inte sätta att b^2 = z som du har gjort, utan du får välja värdet på b^2 så att divisionen går jämnt upp.

okej så om jag tar $\left(1+bi\right)\left(1-bi\right)=1-b^2{i}^2=1+b^2$ och sedan måste jag väl byta ut z i polynomet mot (a+bi) så jag får allt på termen a+bi

Sätt

$z_{0 }= 1 - bi$

$z_1 = 1 + bi$

Eftersom $z_0$ och $z_1$ är rötter till ekvationen så är $(z - z_0)$ och $(z - z_1)$ faktorer i vänsterledets polynom.

Det betyder att du kan skriva vänsterledets polynom på formen $(z - z_0)(z - z_1)(a{z}^2 + cz + d)$

Om du nu hittar a, c och d så får du en enklare ekvation att lösa.

Nej. Dividera $z^4 - 2z^3 + 12z^2 - 14z + 35$ med $(z-(1+bi\left)\right)(z-(1-bi\left)\right)$. Det skall gå att hitta ett värde på b som gör att det inte blir någon rest.

EDIT: Det kan vara enklare att göra som Yngve föreslår.

EDIT2: La till ett par borttappade i.

smaragdalena skrev :

EDIT: Det kan vara enklare att göra som Yngve föreslår.

Det beror helt och hållet på hur bekväm man är med polynomdivision.

Jag har aldrig riktigt lärt mig det (måste ha varit sjuk den da'n ;-) ), så jag brukar oftast istället ansätta ett polynom av lägre grad, multiplicera ihop faktorer och sedan identifiera koefficienter med ursprungsuttrycket.

Inte lika snitsigt, men det funkar ofta bra.

Ni som behärskar polynomdivision använder förstås den metoden (som Smaragdalena föreslår).

Vi lärde oss aldrig polynomdivision på gymnasiet. Innan jag började på Chalmers kom det hem ett ljusgrönt kompendium med vad som påstods vara repetition av gymnasiematten. Där lärde jag mig polynomdivision.

smaragdalena skrev :

Vi lärde oss aldrig polynomdivision på gymnasiet. Innan jag började på Chalmers kom det hem ett ljusgrönt kompendium med vad som påstods vara repetition av gymnasiematten. Där lärde jag mig polynomdivision.

Jag var nog "sjuk" då kompendiet kom hem till mig ;-)

smaragdalena skrev :

Nej. Dividera $z^4-2z^3+12z^2-14z+35$ med $(z-(1+b\left)\right)(z-(1-b\left)\right)$. Det skall gå att hitta ett värde på b som gör att det inte blir någon rest.

EDIT: Det kan vara enklare att göra som Yngve föreslår.

ska det vara b eller bi när man multiplicerar ihop parenteserna?

Det ska vara bi.

okej då får jag det till att man ska dividera $\frac{z^4-2z^3+12z^2-14z+35}{z^2-2z+1+b^2}$

nu fick jag ut ekvationen utan rest då jag satte b=$\pm 2$

så jag har dom två första rötterna $z=1\pm 2i$

men sedan ska jag även hitta rötterna $\pm i\sqrt{7}$

Och det stämmer ju med ditt facit! Då har du bara en andragradsekvation kvar att lösa, och det bör inte vara särskilt svårt.

okej när jag använde pq formeln och satte z-1-2=0 fick jag ut $i\pm \sqrt{7}$ så nu har jag nog löst det.

Tack för hjälpen

Vad blev resultatet när du beräknade $\frac{z^4-2z^3+12z^2-14z+35}{z^2-2z+1+b^2}$? Eller skall jag säga $\frac{z^4-2z^3+12z^2-14z+35}{z^2-2z+5}$, eftersom du sa att b=2?

Du skrev i ditt förstainlägg att de båda andra rötterna skall vara $-1 \pm i$ och nu pratar du om ett par rent imaginära rötter?!

Jursla skrev :

okej när jag använde pq formeln och satte z-1-2=0 fick jag ut i±7 så nu har jag nog löst det.

Tack för hjälpen

När du har fått fram dina fyra rötter så bör du verifiera att de stämmer.

Ursprungsekvationen ska vara uppfylld för var och en av de fyra rötterna.

Jag har tyvärr också fastnat på den här, jag kan verkligen inte få polynomdivideringen att funka...
Det känns som att jag är på rätt väg. Är inte van vid polynomdiv. av komplexa tal tyvärr vad gör jag för fel

Smulan, gör en ny tråd om din fråga, även om det är samma fråga som i den gamla tråden.Det blir så lätt rörigt annars! /moderator