ekvation med naturlig log

magin99 skrev :

lös ekv:

${\mathit{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}$

jag löste den såhär

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{*}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{\left(}\mathit{e}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{*}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{\left(}\mathit{e}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{4}$

$2x*1+x*1 = \ln 4$

$3x = \ln 4$

$x = \frac{\ln 4}{3}$

svaret blev något helt annat. men jag förstår inte varför min metod blev fel

Här blir det fel. Logaritmlagarna säger att $\ln (a·b)=\ln a+\ln b$. Det gäller inte för ln(a+b). Gör såhär istället:

$e^{2x}$ kan med hjälp av potenslagarna skrivas som $e^{x^2}$. Substituera $e^x$ med t istället, och lös ekvationen som en andragradsekvation.

Därför att du inte kan logaritmera termerna i en summa var för sig.

ok som jag har två som bildar en summa är ln(a*b) = ln a + ln b enda giltiga loglagen?

 $\log a^b =\hspace{0.17em}b * \log a$ får denna bara användas på ensamma termer?

så $e^{2x}$ blir ogiltig att logaritmera med ovanstående loglag? eftersom den tillhör en summa?

Korrekt. Du kan logaritmera en summa, men du kan inte separera termerna som du gjort i din lösning. Då blir det fel. 

okej men en sak till bara ett annat tal i boken  så logaritmeras en ekvation enligt  följande. 

$\ln 3e^{x^2} =\hspace{0.17em}\ln 2x$

$\ln 3 + \ln e^{x^2} = \ln 2x$

$\ln 3 + x^2 =\hspace{0.17em}\ln 2x$

här har dom väll gjort samma som jag gjorde i första exemplet. men varför är det okej här?

Eftersom det handlar om 3*e^(x^2), och inte 3 + e^(x^2)

ok så eftersom original talet  innehöll två termer var det inte okej

de andra talet innehöll en produkt som sedan utvecklades till två termer så var de okej

lite förvirrande :s eftersom orignal talet kan väll skrivas som

 $$\begin{gathered} \ln (e^{2x} * e^x)=\hspace{0.17em}4 \\ \log a + \log b =\hspace{0.17em}\log \left(ab\right) \\ \ln \left(e^{2x+x}\right) = 4 \\ {a}^m*a^n = a^{m+n} \\ \ln \left(e^{3x}\right) = 4 \\ \log a^b\hspace{0.17em}= b *\hspace{0.17em}\log a \\ 3x *\hspace{0.17em}1 = 4 \end{gathered}$$

ska vara ln 4 i HL

Du kan logaritmera ett uttryck med två termer, men du kan då inte separera talen till två logaritmerade uttryck. Det får du endast göra om du har multiplikation eller division. Det är inte tillåtet på samma sätt som följande lösning är fel:

$\frac{5+5}{5}=\frac{\cancel{5}+5}{\cancel{5}}=5$

medan följande lösning är korrekt:

$\frac{5·5}{5}=\frac{\cancel{5}·5}{\cancel{5}}=5$. 

Vill man veta varför man inte kan separera logaritmerade uttryck om de innehåller addition/subtraktion måste man gå tillbaka till teorin bakom varför multiplikations-/divisionsuttryck kan separeras från början.

Tillbaka till din lösning.

Nej, så ser inte uppgiften ut. Hade det varit uppgiften hade du fått att:

$\ln e^{2x}+\ln e^x=\ln 4$

Vilket inte är fallet. Som sagt, lös uppgiften med variabelsubstitution så blir det rätt.

Smutstvätt skrev :

Du kan logaritmera ett uttryck med två termer, men du kan då inte separera talen till två logaritmerade uttryck. Det får du endast göra om du har multiplikation eller division. Det är inte tillåtet på samma sätt som följande lösning är fel:

$\frac{5+5}{5}=\frac{\cancel{5}+5}{\cancel{5}}=5$

medan följande lösning är korrekt:

$\frac{5·5}{5}=\frac{\cancel{5}·5}{\cancel{5}}=5$. 

Vill man veta varför man inte kan separera logaritmerade uttryck om de innehåller addition/subtraktion måste man gå tillbaka till teorin bakom varför multiplikations-/divisionsuttryck kan separeras från början.

---

Tillbaka till din lösning.

Nej, så ser inte uppgiften ut. Hade det varit uppgiften hade du fått att:

$\ln e^{2x}+\ln e^x=\ln 4$

Vilket inte är fallet. Som sagt, lös uppgiften med variabelsubstitution så blir det rätt.

Jag är rätt säker på att det går.

Titta här.

woozah skrev :

Smutstvätt skrev :

Du kan logaritmera ett uttryck med två termer, men du kan då inte separera talen till två logaritmerade uttryck. Det får du endast göra om du har multiplikation eller division. Det är inte tillåtet på samma sätt som följande lösning är fel:

$\frac{5+5}{5}=\frac{\cancel{5}+5}{\cancel{5}}=5$

medan följande lösning är korrekt:

$\frac{5·5}{5}=\frac{\cancel{5}·5}{\cancel{5}}=5$. 

Vill man veta varför man inte kan separera logaritmerade uttryck om de innehåller addition/subtraktion måste man gå tillbaka till teorin bakom varför multiplikations-/divisionsuttryck kan separeras från början.

---

Tillbaka till din lösning.

Nej, så ser inte uppgiften ut. Hade det varit uppgiften hade du fått att:

$\ln e^{2x}+\ln e^x=\ln 4$

Vilket inte är fallet. Som sagt, lös uppgiften med variabelsubstitution så blir det rätt.

 

Jag är rätt säker på att det går.

 

Titta här.

Haha, där fick jag!

Smutstvätt skrev :

magin99 skrev :

lös ekv:

${\mathit{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{+}{\mathit{e}}^{\mathbf{x}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{4}$

jag löste den såhär

$\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{*}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{\left(}\mathit{e}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{*}\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{\left(}\mathit{e}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{4}$

$2x*1+x*1 = \ln 4$

$3x = \ln 4$

$x = \frac{\ln 4}{3}$

svaret blev något helt annat. men jag förstår inte varför min metod blev fel

Här blir det fel. Logaritmlagarna säger att $\ln (a·b)=\ln a+\ln b$. Det gäller inte för ln(a+b). Gör såhär istället:

$e^{2x}$ kan med hjälp av potenslagarna skrivas som $e^{x^2}$. Substituera $e^x$ med t istället, och lös ekvationen som en andragradsekvation.

jag läste detta en extra gång. var de så att jag logaritmerade fel i detta ex. de ska vara$$\begin{gathered} \ln ( e^{2x} +e^x) medans jag skrev \ln \hspace{0.17em}{e}^{2x}+\ln e^x \\ hade de däremot varit *\hspace{0.17em}hade de varit rätt att skriva \ln \hspace{0.17em}{e}^{2x} *\hspace{0.17em}\ln e^x \end{gathered}$$

Hej Magin99!

Eftersom $e^{2x}$ är samma sak som Error converting from LaTeX to MathML så vill du lösa ekvationen

    $\displaystyle (e^{x})^2 + e^{x} = 4.$

Detta är en andragradsekvation i variabeln $e^{x}$ som du kan lösa med P-Q-formeln.

Formeln talar om för dig vad talet $e^{x}$ är, och för att finna talet $x$ måste du logaritmera svaret du får från P-Q-formeln; kom ihåg att man bara kan logaritmera positiva tal.

De andra skribenterna i denna tråd har förklarat för dig varför din metod inte fungerar.

Albiki

Hej!

Eftersom $e^{2x}$ är samma sak som $e^{x} e^{x}$ så vill du lösa ekvationen $(e^{x})^2+e^{x} = 4.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Eftersom $e^{2x}$ är samma sak som $e^{x} e^{x}$ så vill du lösa ekvationen $(e^{x})^2+e^{x} = 4.$

Albiki

hej, ja jag förstår hur jag löser ekvationen. mitt problem är hur jag får använda mig av log. 

så är korrekt logaritmering av $e^{2x}+e^x = \ln (e^{2x}+e^x)$ 

eller förstår jag fortfarande inte? :O

Jag vet att jag inte behöver göra detta men är intresserad av hur de får användas

Ja, på det sättet blir det rätt (men knappast användbart).

magin99 skrev :

Albiki skrev :

Hej!

Eftersom $e^{2x}$ är samma sak som $e^{x} e^{x}$ så vill du lösa ekvationen $(e^{x})^2+e^{x} = 4.$

Albiki

hej, ja jag förstår hur jag löser ekvationen. mitt problem är hur jag får använda mig av log. 

så är korrekt logaritmering av $e^{2x}+e^x = \ln (e^{2x}+e^x)$ 

eller förstår jag fortfarande inte? :O

Jag vet att jag inte behöver göra detta men är intresserad av hur de får användas

Jodå, det stämmer. Däremot är det inte korrekt att sedan gå vidare till $\ln (e^{2x}+e^x)=\ln e^{2x}+\ln e^x$.