Ekvation med lösningen x= 2i

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

Tips: sätt $t=x^2$, vad får du för ekvation då?

$t_1=x_1^2=(2i)^2=...$

$t^2+6t+8=(t-t_1)(t-t_2)=0$

Micimacko skrev:

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

vet inte haha...

tomast80 skrev:

Tips: sätt $t=x^2$, vad får du för ekvation då?

$t_1=x_1^2=(2i)^2=...$

$t^2+6t+8=(t-t_1)(t-t_2)=0$

Jag har löst det så på andra uppgiften.. men denna här så ska man enligt facit göra polynomdivision

Amanda9988 skrev:

Micimacko skrev:

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

vet inte haha...

Källa: http://wiki.sommarmatte.se/wikis/sommarmatte2/index.php/3.4_Komplexa_polynom

Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

tomast80 skrev:

Amanda9988 skrev:

Visa föregående citat

Micimacko skrev:

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

vet inte haha...

Källa: http://wiki.sommarmatte.se/wikis/sommarmatte2/index.php/3.4_Komplexa_polynom

Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.

jaa..

Micimacko skrev:

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

Vad ska jag dividera med det är det jag inte vet

Amanda9988 skrev:

Micimacko skrev:

Ekvationen har bara reella koefficienter, eller hur? Vad säger det om komplexa rötter?

Vad ska jag dividera med det är det jag inte vet

Om du har lösnignarna $x_1=2i$ och $x_2=-2i$ så kan betyder det att din polynom kan skrivas på formen $(x-2i)(x+2i)(ax^2+bx+c)$. Du kan också se att $(x-2i)(x+2i)=x^2+4$, således kan du skriva det på formen $(x^2+4)(ax^2+bx+c)$. Identtifiera $a,b,c$ så slipper du göra polynomdivision, eller utför polynomdivision med $x^2+4$. Valfritt.

Kalla $x^4+6x^2+8$ för $P(x)$.

1. Om ekvationen $P(x)=0$ har $x = 2i$ som lösning så är även $x = -2i$ en lösning eftersom lösningarna alltid förekommer i komplexkonjugerade par. Detta eftersom koefficienterna i$P(x)$ är reella i detta fallet.
2. Om polynomet $P(x)$ har ett nollställe vid $x = x_1$ så är $(x-x_1)$ en faktor i polynomet $P(x)$.

Ovanstående betyder att både $(x-2i)$ och $(x+2i)$ är faktorer i $$x^4+6x^2×8$$.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Kalla $x^4+6x^2+8$ för $P(x)$.

1. Om ekvationen $P(x)=0$ har $x = 2i$ som lösning så är även $x = -2i$ en lösning eftersom lösningarna alltid förekommer i komplexkonjugerade par. Detta eftersom koefficienterna i$P(x)$ är reella i detta fallet.
2. Om polynomet $P(x)$ har ett nollställe vid $x = x_1$ så är $(x-x_1)$ en faktor i polynomet $P(x)$.

Ovanstående betyder att både $(x-2i)$ och $(x+2i)$ är faktorer i $$x^4+6x^2×8$$.

Kommer du vidare då?

Är det rätt?

Kan du testa dina svar på något sätt?