Ekvation med komplexa tal

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

abcdefg skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Smaragdalena skrev:

abcdefg skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var $\approx$0,52 då jag tog $arc\tan \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{3}}}\right)$. (såg nu att jag hade räknaren inställd på radianer så får istället $35°$)

abcdefg skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

abcdefg skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var $\approx$0,52 då jag tog $arc\tan \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{3}}}\right)$. 

$\pi/6$ är ju ungefär 0,52, så den delen är rätt, fast du borde föredra det exakta svaret. Men nånting är fel med 2 och $\sqrt 2$ i början. Hur fick du det?

Laguna skrev:

abcdefg skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

abcdefg skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Hej!

Ekvationen kan skrivas $e^{z} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i).$ För att finna alla komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen skriver du det komplexa talet $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ på exponentialform $re^{i(v+n\cdot 2\pi n)}$ där $n$ betecknar ett godtyckligt heltal.

Med $z=a+ib$ blir $e^{z} = e^{a}e^{ib}$ vilket ger dig två ekvationer:

     $r=e^{a}\iff a=\ln r$ och $b = v+n\cdot 2\pi n$.

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Visa hur du har räknat, så kan vi hjälpa dig vidare. Utan dina uträkningar famlar vi i blindo. Vi som svarar här är bra på matte men usla på tankeläsning. 

Jag beskrev ovan hur jag gick tillväga. Vinkeln jag fick fram var $\approx$0,52 då jag tog $arc\tan \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{3}}}\right)$. 

$\pi/6$ är ju ungefär 0,52, så den delen är rätt, fast du borde föredra det exakta svaret. Men nånting är fel med 2 och $\sqrt 2$ i början. Hur fick du det?

Tack för svar! Tror jag fick ordning på det hela. Jag dividerade med 2 direkt istället för att göra det i ett senare skede. Fick då r=1 och sedan iy=$\mathrm{\pi }/6$

Det finns ingen anledning att införa en massa avrundade värden, när man har de exakta!

$2e^z-\sqrt{3}-i=0\iff e^z=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$

Skriv z som a+bi och skriv om HL på polär form:

$$\begin{gathered} e^{a+bi}=e^a·e^{bi}=r·e^v=1·e^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}i} \\ r=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1 \\ v={\tan }^{-1}\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}={\tan }^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi n} \end{gathered}$$

$e^a=1\rightarrow a=0$

Vi väljer att använda principalvärdet (d v s det utan $2\pi n$ och får alltså att $z=a+bi=\frac{\pi}{6}i$.

abcdefg skrev:

Tack för svar. Hänger dock inte riktigt med var $2\mathrm{\pi }$ kommer ifrån. Jag fick en annan vinkeln när jag försökte räkna ut det.

Det kommer från att den komplexa exponentialfunktionen är periodisk med period 2π. Detta innebär att vinklarna π/6 och π/6 + 2π ger samma svar. Det är som när du löser trigonometriska ekvationer, då måste du även addera perioden.