Ekvation med komplexa tal

Komplexa tal utgörs av en realdel och en imaginärdel. För att två komplexa tal skall vara lika måste de ha samma realdel och imaginärdel. Du har nu fått en ekvation där två komplexa tal skalla vara lika.

$a^2-b^2+2abi=8i$

Nu skall realdelarna och imaginärdelarna i båda leden vara lika med varandra. Vad är realdelen respektive imaginärdelen i vänsterledet?

Realdelen är a² och imaginärdelen -b² 

2abi vet jag tyvärr inte hur jag ska dela upp.. 

Linnimaus skrev :

Lös ekvationen z²=8i

Jag har gjort så här

(a+bi)²=8i

a²+2abi-b²=8i

Här kör jag fast. Har testat att dividera med 2 men kommer inte vidare där ifrån heller.

Det du har är ett komplext tal i VL och ett annat komplext tal i HL.

För att de två talen ska vara lika så måste:

• Realdelen av VL vara lika med realdelen av HL. Det ger dig ekvationen $a^2-b^2=0$
• Imaginärdelen av VL vara lika med imaginärdelen av HL. Det ger dig ekvationen $2ab=8$

Detta ekvationssystem har flera lösningar. Kontrollera vilka som uppfyller ursprungsekvationen.

 Ett annat sätt är att använda polär form och De Moivres formel om du känner till den.

Nja, inte riktigt. b är ett reellt tal, men bi är det inte eftersom b är multiplicerat med i. När b står ensamt är det en del av realdelen. Vilka termer i ekvationen har ett i i sig?

Nej. Realdelen i vänsterledet är

$a^2-b^2$

Imaginärdelen i vänsterledet är

$2ab$

Realdelen av ett komplext tal består enbart av reella tal (alltså "vanliga" tal på tallinjen). Imaginärdelen av ett komplext tal innehåller det imaginära talet i, som inte finns på den "vanliga" tallinjen. Så imaginärdelen innehåller alltid i.

Vad är imaginär- respektive realdelen i högerledet?

Linnimaus skrev :

Realdelen är a² och imaginärdelen -b² 

2abi vet jag tyvärr inte hur jag ska dela upp.. 

Nej om det komplexa talet är x + yi så är realdelen x och imaginärdelen y.

Ditt komplexa tal $a^2+2abi-b^2=a^2-b^2+2abi$ har alltså realdelen $a^2-b^2$ och imaginärdelen $2ab$.

Här kan du läsa mer om detta.

Okej. Där tänkte jag nog att b² fortfarande "tillhör" den imaginära delen 

Men nu vet jag inte hur jag ska lösa ekvationen a²-b²=0

Du får ett ekvationssystem med

$$\begin{gathered} a^2-b^2=0 \\ 2ab=8 \end{gathered}$$

Som du kan lösa eftersom det innehåller två variabler och två oberoende ekvationer.

Tack :)

Linnimaus skrev :

Men nu vet jag inte hur jag ska lösa ekvationen a²-b²=0

Ekvationen $a^2=b^2$ har som vanligt lösningen $a=\pm b$