Ekvation med extrempunkter i allmän form

Linn skrev:

Hej! 

Detta är en A-uppgift som jag stirrat mig blind på. Jag har funktionen f(x)=ax^3+bx^2 där a=/0 och b =/0 (=/ betyder: inte lika med) och ska bestämma ekvationen för den räta linje man kan dra mellan två extrempunkter i det allmänna fallet, dvs för godtyckliga värden på a och b. 

Jag har kommit hit: 

 f(x)=ax^3+bx^2

f'(x)=3ax^2+2bx 

0= x(3ax+2b) 

X1= 0 

X2= (-2b)/(3ax)

Men sedan när jag sätter in X2 i funktionen f(x) så lyckas jag inte lösa ut nånting. Vad gör jag för fel? 

Ena nollstället $x_1=0$ är rätt.

Men det andra är fel. Du har att $3ax_2+2b=0$, vilket ger att $x_2=-\frac{2b}{3a}$

Nollställen:

{x1,x2} = {0, -2 b/(3a)}

Punkt 1: (x1,f(x1))=(0, 0)

Punkt 2: (x2,f(x2))=(-2b/(3a), 4b^3/(27a^2))

Rät linje: y-f(x1)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)(x-x1)

--> y = -2b^2x/(9a)

Du har nog beräknat X2 lite fel. Om du bryter ut x ur 3ax+2b får du en ekvation utan x som term, vilket du sedan kan stoppa in i f(x).

Ja gud så klantigt, jag gjorde om uppgiften precis när jag skickat iväg meddelandet och fick då x=(-2b)/(3b)

Men sedan fastnar jag i f(x)=a(-2b/3a)^3 + b(-2b/3a)^2 

Kan jag förkorta bort så att f(x)=a(-2b/3a)+b? 

Linn skrev:

Ja gud så klantigt, jag gjorde om uppgiften precis när jag skickat iväg meddelandet och fick då x=(-2b)/(3b)

Men sedan fastnar jag i f(x)=a(-2b/3a)^3 + b(-2b/3a)^2 

Kan jag förkorta bort så att f(x)=a(-2b/3a)+b? 

Nej, inte förkorta, men beräkna. 

Linn skrev:

Ja gud så klantigt, jag gjorde om uppgiften precis när jag skickat iväg meddelandet och fick då x=(-2b)/(3b)

Men sedan fastnar jag i f(x)=a(-2b/3a)^3 + b(-2b/3a)^2 

Kan jag förkorta bort så att f(x)=a(-2b/3a)+b? 

 Ta en bit i taget.

$(\frac{-2b}{3a})^3=\frac{(-2b)^3}{(3a)^3}=$

$=\frac{(-2)^3b^3}{3^3a^3}=\frac{-8b^3}{27a^3}$

Alltså är $a(\frac{-2b}{3a}{)}^3=a\frac{-8b^3}{27a^3}=\frac{-8b^3}{27a^2}$

Kan du fortsätta själv nu?

Jag fick fram att f(x)= (4ab^3)/27a^3

Och sen räknar jag ut k-värdet med hjälp av de 2 x-värdena:

Delta y: 0-((4ab^3)/27a^3)

Delta x: 0- (-2b/3a)

?

Linn skrev:

Jag fick fram att f(x)= (4ab^3)/27a^3

Och sen räknar jag ut k-värdet med hjälp av de 2 x-värdena:

Delta y: 0-((4ab^3)/27a^3)

Delta x: 0- (-2b/3a)

?

Du kan förenkla till $f(x_2)=\frac{4b^3}{27a^2}$.

Vad får du sedan för k-värde?

Jag får k= (4b^2)/18^a

Sedan får jag funktionen: 

Y= (4b^2)/(18a)x + (8b^3)/(27a^2)

Är det rimligt? 

Nej, din linje går inte genom origo.

Linn skrev:

Jag får k= (4b^2)/18^a

Sedan får jag funktionen: 

Y= (4b^2)/(18a)x + (8b^3)/(27a^2)

Är det rimligt? 

Om du visar dina uträkningar så är det lättare för oss att hjälpa dig att hitta var det blir fel, och du kommer därmed att få snabbare hjälp.

Jag sätter in mitt x-värde i funktionen f(x) = ax^3 + bx^2 :

f(-2b/3a) = a(-2b/3a)^3 + b(-2b/3a)^2

f(-2b/3a) = (-8ab^3/27a^3) + (4b^3(x3)/9a^2(x3)) <-- Här förlänger jag med 3a i både täljare o nämnare för att få MGN.

f(-2b/3a) = (-8ab^3 + 12ab^3)/27a^3 = (4b^3)/27a^2

Jag räknar ut k-värdet:

K = y-led: 0-(4b^3/27a^2)  / x-led:  0-(-2b/3a) = (4b^3)/18a^2

Jag räknar ut den räta linjens ekvation:

f(-2b/3a)  = ((4b^3)/(18a^2)) x (-2b/3a) +m

m = (4b^3)/(27a^2) - (-8b^4)/54a^3)

m = (4b^3)x2a/(27a^2)x2a - (-8b^4)/54a^3) <-- Jag förlänger med 2a för att få MGN

m = (8ab^3+8b^4)/ 54a^3

m = (4ab^3 + 4b^4)/ 27a^3

f(x) = ((4b^3)/18^2)x + ((4ab^3 + 4b^4)/ 27a^3)

Linn skrev:

Jag sätter in mitt x-värde i funktionen f(x) = ax^3 + bx^2 :

f(-2b/3a) = a(-2b/3a)^3 + b(-2b/3a)^2

f(-2b/3a) = (-8ab^3/27a^3) + (4b^3(x3)/9a^2(x3)) <-- Här förlänger jag med 3a i både täljare o nämnare för att få MGN.

f(-2b/3a) = (-8ab^3 + 12ab^3)/27a^3 = (4b^3)/27a^2

Det är rätt fram hit.

Jag räknar ut k-värdet:

K = y-led: 0-(4b^3/27a^2)  / x-led:  0-(-2b/3a) = (4b^3)/18a^2

Det här stämmer inte.

$k=\frac{0-\frac{4b^3}{27a^2}}{0-(-\frac{2b}{3a})}$

$k=\frac{-\frac{4b^3}{27a^2}}{\frac{2b}{3a}}$

$k=-\frac{4b^3}{27a^2}\cdot\frac{3a}{2b}$

$k=-\frac{2b^2}{9a}$

Vad gäller m-värdet så behöver du inte beräkna det. Du vet att den räta linjen går genom origo ...

Just det, skulle ha lyft blicken tidigare från uppgiften så hade jag inte stirrat mig så blind. Men tusen tack för tålamodet och hjälpen!