Ekvation med en känd negativ rot
Uppgift/fråga; Ekvationen x^3+ 2x^2 - 11x - 12 = 0 har en rot x = -1. Dessutom har ekvationen ytterligare två rötter - en positiv och en negativ. Bestäm den positiva roten.
Förstår inte riktigt hur man ska göra när det är både en andragradsekvation o x^3 i samma ekvation..?
Detta är tänkt att lösas med polynomdivision; har ni gått igenom det?
Ja, men har nog inte förstått det så bra som jag skulle behöva..
Läs igenom denna sida som repetition, och försök sedan att lösa uppgiften. Skriv upp hur långt du har kommit i denna tråd om du kör fast, så hjälper vi dig!
Edit: Gissa vem som glömde att länka sidan? Japp...
Ok, tack!
Smutstvätt skrev :Läs igenom denna sida som repetition, och försök sedan att lösa uppgiften. Skriv upp hur långt du har kommit i denna tråd om du kör fast, så hjälper vi dig!
Saknar en länk här ...
Nollprocentmattegeni skrev :Uppgift/fråga; Ekvationen x^3+ 2x^2 - 11x - 12 = 0 har en rot x = -1. Dessutom har ekvationen ytterligare två rötter - en positiv och en negativ. Bestäm den positiva roten.
Förstår inte riktigt hur man ska göra när det är både en andragradsekvation o x^3 i samma ekvation..?
Att x = -1 är en rot till ekvationen p(x) = 0 innebär att (x - (-1)) = (x + 1) är en faktor i polynomet p(x).
Ett alternativ till polynomdivision är följande:
Att (x + 1) är en faktor i polynomet p(x) innebär att p(x) kan skrivas som p(x) = (x + 1)*q(x), där q(x) är ett polynom av en grad lägre än p(x), dvs i detta fallet ett andragradspolynom.
Ansätt nu q(x) = ax^2 + bx + c.
Då har du att
(x + 1)(ax^2 + bx + c) = x^3 + 2x^2 - 11x - 12
Multiplicera nu ihop VL och "identifiera termer", dvs jämför VL och HL:
- Antalet x^3-termer i VL ska vara lika med antalet x^3-termer i HL.
- Antalet x^2-termer i VL ska vara lika med antalet x^2-termer i HL.
- Antalet x-termer i VL ska vara lika med antalet x-termer i HL.
- Antalet konstanttermer i VL ska vara lika med antalet konstanttermer i HL.
Kommer du vidare nu?
Tips: börja med att bestämma och . De kan du i princip plocka direkt.
Yngve skrev :Smutstvätt skrev :Läs igenom denna sida som repetition, och försök sedan att lösa uppgiften. Skriv upp hur långt du har kommit i denna tråd om du kör fast, så hjälper vi dig!
Saknar en länk här ...
Hur lyckades jag klanta mig så illa? Haha, här är länken i alla fall. :)
Smutstvätt skrev :Yngve skrev :Smutstvätt skrev :Läs igenom denna sida som repetition, och försök sedan att lösa uppgiften. Skriv upp hur långt du har kommit i denna tråd om du kör fast, så hjälper vi dig!
Saknar en länk här ...
Hur lyckades jag klanta mig så illa? Haha, här är länken i alla fall. :)
Tack!
tomast80 skrev :Tips: börja med att bestämma och . De kan du i princip plocka direkt.
Ok, a=2 och c= -12 borde det bli..
Yngve skrev :Nollprocentmattegeni skrev :Uppgift/fråga; Ekvationen x^3+ 2x^2 - 11x - 12 = 0 har en rot x = -1. Dessutom har ekvationen ytterligare två rötter - en positiv och en negativ. Bestäm den positiva roten.
Förstår inte riktigt hur man ska göra när det är både en andragradsekvation o x^3 i samma ekvation..?
Att x = -1 är en rot till ekvationen p(x) = 0 innebär att (x - (-1)) = (x + 1) är en faktor i polynomet p(x).
Ett alternativ till polynomdivision är följande:
Att (x + 1) är en faktor i polynomet p(x) innebär att p(x) kan skrivas som p(x) = (x + 1)*q(x), där q(x) är ett polynom av en grad lägre än p(x), dvs i detta fallet ett andragradspolynom.
Ansätt nu q(x) = ax^2 + bx + c.
Då har du att
(x + 1)(ax^2 + bx + c) = x^3 + 2x^2 - 11x - 12
Multiplicera nu ihop VL och "identifiera termer", dvs jämför VL och HL:
- Antalet x^3-termer i VL ska vara lika med antalet x^3-termer i HL.
- Antalet x^2-termer i VL ska vara lika med antalet x^2-termer i HL.
- Antalet x-termer i VL ska vara lika med antalet x-termer i HL.
- Antalet konstanttermer i VL ska vara lika med antalet konstanttermer i HL.
Kommer du vidare nu?
Jag tror det, prövar och räkna ut det om en stund och återkommer om jag inte lyckas, tack för hjälpen!
Försökt multiplicera VL nu och fått svaret; VL= (x+1)(ax^2+bx+c) = (ax^3+bx^2+cx)+(ax^2+bx+c)=ax^5+bx^3+c+cx
Nollprocentmattegeni skrev :Försökt multiplicera VL nu och fått svaret; VL= (x+1)(ax^2+bx+c) = (ax^3+bx^2+cx)+(ax^2+bx+c)=ax^5+bx^3+c+cx
Du har rätt fram hit:
VL= (x+1)(ax^2+bx+c) = (ax^3+bx^2+cx)+(ax^2+bx+c)
Men sedan blir det fel.
- ax^3 + ax^2 är inte lika med ax^5.
- bx^2 + bx är inte lika med bx^3.
Gör istället så här. Du har uttrycket
(ax^3+bx^2+cx)+(ax^2+bx+c) = ax^3 + bx^2 + cx + ax^2 + bx + c
Samla nu ihop alla x^3-termer, alla x^2-termer, alla x-termer och alla konstanttermer för sig:
ax^3 + ax^2 + bx^2 + cx + bx + c
Bryt ut de gemensamma faktorerna (fetmarkerade ovan):
ax^3 + (a + b)x^2 + (c + d)x + c
Detta uttryck ska nu vara lika med HL, dvs x^3 + 2x^2 - 11x - 12
Det betyder att din ekvation blir
ax^3 + (a + b)x^2 + (c + d)x + c = x^3 + 2x^2 - 11x - 12
Nu ska det vara lika många
- x^3-termer i VL som i HL, vilket ger dig ekvationen a = 1
- x^2-termer i VL som i HL, vilket ger dig ekvationen (a + b) = 2
- x-termer i VL som i HL, vilket ger dig ekvationen (c + d) = -11
- konstanttermer i VL som i HL, vilket ger dig ekvationen c = -12
Du har ett värde på a, vilket gör att du med hjälp av (a + b) = 2 kan få ett värde på b.
Du har ett värde på c, vilket gör att du med hjälp av (c + d) = -11 kan få ett värde på d.
När du sen har alla värden på a, b, c och d så vet du hur ditt andragradsuttryck ax^2 + bx + c ser ut.
