26 svar
582 visningar
OliviaH behöver inte mer hjälp
OliviaH 1041
Postad: 23 maj 2022 18:10

Ekvation komplexa tal

Ekvationen 2z²+az+5-b=0 där a och b är reella tal har en lösning z= -1-3i.
Bestäm konstanterna a och b.

 

Jag förstår inte vad jag ska göra riktigt. Är a+b= -1-3i ?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 23 maj 2022 18:24

Det finns flera sätt att ta sig an den här uppgiften.

Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.

Det betyder att ekvationens två lösningar är z1 = -1-3i och z2 = -1+3i.

Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.

=======

Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.

=======

Det finns fler ....

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 09:47 Redigerad: 24 maj 2022 09:50

(-1-3i)(-1+3i)=1+9i²Då valde jag att 1 var b och 9 var a.. vet inte om jag skulle göra så.2z²+az+5-b=0z²+4,5z+5-1=0z²+4,5z+4=0Räknade med pq formlen och fickz1=-0,5z2=-4

Jag tror jag missuppfattat..

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2022 10:33

Vilken av de två metoderna använde du i försöket?

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 10:58

Först lade jag till konjugatet av lösningen, sedan pq formeln

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2022 11:29
Yngve skrev:

========/

Metod 1: Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.

Det betyder att ekvationens två lösningar är z1 = -1-3i och z2 = -1+3i.

Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.

=======

Metod 2: Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.

=======

Vill du jobba med metod 1 eller metod 2?

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 11:36

kan prova metod 1 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2022 12:55 Redigerad: 24 maj 2022 13:33

OK.

Du vet att z1 = -1-3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att

2z12+az1+5-b = 0

Sätt in z1 i den ekvationen så får du en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.

Du vet att även z2 = -1+3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att

2z22+az2+5-b = 0

Sätt in z2 i den ekvationen så får du ytterligare en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.

Nu har du två linjära ekvationer och två obekanta storheter a och b. Lös ut a och b.

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 17:31

z1=-1-3i2(-1-3i)²+a(-1-3i)+5-b=02(1-9i²)+(-a-a3i)+5-b=0Är det rätt såhär långt?

 

z2=-1+3i2(-1+3i)²+a(-1+3i)+5-b=02(1+9i²)+(-a+a3i)+5-b=0

Är detta rätt så långt?

Micimacko 4088
Postad: 24 maj 2022 17:40

Du kan inte flytta in upphöjt i parentesen. Det är vad kvadreringsregler är till för.

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 17:46

okej, blir det såhär då? 

 

z1=-1-3i2(-1-3i)²+a(-1-3i)+5-b=0 2(-1-6i+9i)+a(-1-6i)+5-b=0 

Micimacko 4088
Postad: 24 maj 2022 17:53

Rätt tänkt, men du har tappat en kvadrat på i bakom 9, och på första (-1)

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 17:58

Menar du att det ska vara? -1²-6i+9i²

Micimacko 4088
Postad: 24 maj 2022 18:10

Ja

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 18:22

Blir det i nästa led:

2(-1-6i+9i²)+a(-1-18i²)+5-b=0

Micimacko 4088
Postad: 24 maj 2022 19:04

Nej. Gå igenom det igen, tror du kan hitta felen själv.

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 19:22 Redigerad: 24 maj 2022 19:24

2(-1²-6i+9i²)+a(-1²-6i+9i²)+5-b=0

och sedan

(-2-12i²+18i⁴)+(-a-a6i+a9i²)+5-b=0

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2022 20:20 Redigerad: 24 maj 2022 21:01

Nej det stämmer inte.

Försök att ta små små steg, ett i taget.

Eftersom z1 = -1-3i så är z12 = (-1-3i)2 = (-1)2 +6i+9i2 = 1+6i-9 = 6i-9

Och då är 2•z1 = 2•(6i-9) = 12i-18.

Och a•z2 blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.

Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi

12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs

12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs

b-a-13+(12-3a)i = 0

Detta ger oss de två ekvationerna

  • för realdelen: b-a-13 = 0
  • för imaginärdelen: 12-3a = 0

=======

Gör nu på samma sätt med z2


Tillägg: 25 maj 2022 17:36

Ser nu att jag har skrivit flera fel i svaret.

Till att börja med så är z12 = 6i-8 och inte 6i-9.

Sen har jag skrivit +b istället för -b på ett ställe.

Det ska alltså till slut bli

För realdelen: -a-b-11 = 0

För imaginärdelen: 12-3a = 0

Och egentligen räcker detta för att nedstämda att a = 4 och således att b = -15

OliviaH 1041
Postad: 24 maj 2022 22:24

tack för all hjälp, ska försöka

OliviaH 1041
Postad: 25 maj 2022 10:40 Redigerad: 25 maj 2022 11:10
Yngve skrev:

Nej det stämmer inte.

Försök att ta små små steg, ett i taget.

Eftersom z1 = -1-3i så är z12 = (-1-3i)2 = (-1)2 +6i+9i2 = 1+6i-9 = 6i-9 (Ska det inte vara -6i??????????) enligt kvadreringsregeln

Och då är 2•z1 = 2•(6i-9) = 12i-18.

Och a•z2 blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.

Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi

12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs

12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs (ska det inte vara -b här) ?????????????

b-a-13+(12-3a)i = 0

Detta ger oss de två ekvationerna

  • för realdelen: b-a-13 = 0
  • för imaginärdelen: 12-3a = 0

=======

Gör nu på samma sätt med z2

OliviaH 1041
Postad: 25 maj 2022 10:56 Redigerad: 25 maj 2022 11:54

z2=-1+3ai12i-18+(-a+3ai)+5-b=0Om jag följer det sättet du gjorde så bör det bli b-a-13+(12+3a)i=0im del: 12+3a=0reell del: b-a-13=0

 

a= -4 och b= 9

OliviaH 1041
Postad: 25 maj 2022 14:17 Redigerad: 25 maj 2022 14:24

Det enda jag inte hänger med på gällande z1 är nu varför det blir +b istället för -b.

 

Nu har jag räknat att jag får a= 4 och b= 9 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 25 maj 2022 17:37 Redigerad: 25 maj 2022 17:38

Jag har slarvat och skrivit flera fel i svar #18.

Se tillagd kommentar där.

OliviaH 1041
Postad: 25 maj 2022 21:23

var gör jag fel????

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 25 maj 2022 22:16
OliviaH skrev:

var gör jag fel????

Blått: Du ändrade en konstant. Det gav dig fel resultat på slutet.

Rött: Bara Skrivfel, påverkar inte resultatet.

OliviaH 1041
Postad: 25 maj 2022 22:25 Redigerad: 25 maj 2022 22:27

 

Ska det vara (3i)²?

Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0? 

 

EDIT: glömde att subtrahera med 5...

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 26 maj 2022 00:39
OliviaH skrev:

 

Ska det vara (3i)²?

Js

Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0? 

EDIT: glömde att subtrahera med 5...

Jag förstår inte vad du menar.

Börja om från -12i-16-a+3ai+5-b = 0

Svara
Close