Ekvation komplexa tal
Ekvationen 2z²+az+5-b=0 där a och b är reella tal har en lösning z= -1-3i.
Bestäm konstanterna a och b.
Jag förstår inte vad jag ska göra riktigt. Är a+b= -1-3i ?
Det finns flera sätt att ta sig an den här uppgiften.
Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.
Det betyder att ekvationens två lösningar är z1 = -1-3i och z2 = -1+3i.
Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.
=======
Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.
=======
Det finns fler ....
Jag tror jag missuppfattat..
Vilken av de två metoderna använde du i försöket?
Först lade jag till konjugatet av lösningen, sedan pq formeln
Yngve skrev:========/
Metod 1: Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.
Det betyder att ekvationens två lösningar är z1 = -1-3i och z2 = -1+3i.
Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.
=======
Metod 2: Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.
=======
Vill du jobba med metod 1 eller metod 2?
kan prova metod 1
OK.
Du vet att z1 = -1-3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att
2z12+az1+5-b = 0
Sätt in z1 i den ekvationen så får du en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.
Du vet att även z2 = -1+3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att
2z22+az2+5-b = 0
Sätt in z2 i den ekvationen så får du ytterligare en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.
Nu har du två linjära ekvationer och två obekanta storheter a och b. Lös ut a och b.
Är detta rätt så långt?
Du kan inte flytta in upphöjt i parentesen. Det är vad kvadreringsregler är till för.
okej, blir det såhär då?
Rätt tänkt, men du har tappat en kvadrat på i bakom 9, och på första (-1)
Menar du att det ska vara?
Blir det i nästa led:
2(-1-6i+9i²)+a(-1-18i²)+5-b=0
Nej. Gå igenom det igen, tror du kan hitta felen själv.
2(-1²-6i+9i²)+a(-1²-6i+9i²)+5-b=0
och sedan
(-2-12i²+18i⁴)+(-a-a6i+a9i²)+5-b=0
Nej det stämmer inte.
Försök att ta små små steg, ett i taget.
Eftersom z1 = -1-3i så är z12 = (-1-3i)2 = (-1)2 +6i+9i2 = 1+6i-9 = 6i-9
Och då är 2•z1 = 2•(6i-9) = 12i-18.
Och a•z2 blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.
Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi
12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs
12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs
b-a-13+(12-3a)i = 0
Detta ger oss de två ekvationerna
- för realdelen: b-a-13 = 0
- för imaginärdelen: 12-3a = 0
=======
Gör nu på samma sätt med z2
Tillägg: 25 maj 2022 17:36
Ser nu att jag har skrivit flera fel i svaret.
Till att börja med så är z12 = 6i-8 och inte 6i-9.
Sen har jag skrivit +b istället för -b på ett ställe.
Det ska alltså till slut bli
För realdelen: -a-b-11 = 0
För imaginärdelen: 12-3a = 0
Och egentligen räcker detta för att nedstämda att a = 4 och således att b = -15
tack för all hjälp, ska försöka
Yngve skrev:Nej det stämmer inte.
Försök att ta små små steg, ett i taget.
Eftersom z1 = -1-3i så är z12 = (-1-3i)2 = (-1)2 +6i+9i2 = 1+6i-9 = 6i-9 (Ska det inte vara -6i??????????) enligt kvadreringsregeln
Och då är 2•z1 = 2•(6i-9) = 12i-18.
Och a•z2 blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.
Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi
12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs
12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs (ska det inte vara -b här) ?????????????
b-a-13+(12-3a)i = 0
Detta ger oss de två ekvationerna
- för realdelen: b-a-13 = 0
- för imaginärdelen: 12-3a = 0
=======
Gör nu på samma sätt med z2
a= -4 och b= 9
Det enda jag inte hänger med på gällande z1 är nu varför det blir +b istället för -b.
Nu har jag räknat att jag får a= 4 och b= 9
Jag har slarvat och skrivit flera fel i svar #18.
Se tillagd kommentar där.
var gör jag fel????
OliviaH skrev:var gör jag fel????
Blått: Du ändrade en konstant. Det gav dig fel resultat på slutet.
Rött: Bara Skrivfel, påverkar inte resultatet.
Ska det vara (3i)²?
Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0?
EDIT: glömde att subtrahera med 5...
OliviaH skrev:
Ska det vara (3i)²?
Js
Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0?
EDIT: glömde att subtrahera med 5...
Jag förstår inte vad du menar.
Börja om från -12i-16-a+3ai+5-b = 0