Ekvation komplexa tal

Det finns flera sätt att ta sig an den här uppgiften.

Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.

Det betyder att ekvationens två lösningar är z₁ = -1-3i och z₂ = -1+3i.

Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.

=======

Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.

=======

Det finns fler ....

$$\begin{gathered} (-1-3i)(-1+3i)=1+9i² \\ Då valde jag att 1 var b och 9 var a.. vet inte om jag skulle göra så. \\ 2z²+az+5-b=0 \\ z²+4,5z+5-1=0 \\ z²+4,5z+4=0 \\ Räknade med pq formlen och fick \\ {z}_1=-0,5 \\ {z}_2=-4 \end{gathered}$$

Jag tror jag missuppfattat..

Vilken av de två metoderna använde du i försöket?

Först lade jag till konjugatet av lösningen, sedan pq formeln

Yngve skrev:

========/

Metod 1: Ett sätt är att använda att eftersom koefficienterna är reella så förekommer rötterna i komplexkonjugerade par.

Det betyder att ekvationens två lösningar är z₁ = -1-3i och z₂ = -1+3i.

Ekvationen ska var uppfylld för båda dessa rötter, vilket ger dig tvp ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.

=======

Metod 2: Ett annat sätt är att använda sambanden mellan rötter och koefficienter för andragradsekvationer.

=======

Vill du jobba med metod 1 eller metod 2?

kan prova metod 1 

OK.

Du vet att z₁ = -1-3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att

2z₁²+az₁+5-b = 0

Sätt in z₁ i den ekvationen så får du en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.

Du vet att även z₂ = -1+3i är en lösning till ekvationen. Det betyder att

2z₂²+az₂+5-b = 0

Sätt in z₂ i den ekvationen så får du ytterligare en ekvation som endast innehåller de två obekanta storheterna a och b.

Nu har du två linjära ekvationer och två obekanta storheter a och b. Lös ut a och b.

$$\begin{gathered} z_1=-1-3i \\ 2(-1-3i)²+a(-1-3i)+5-b=0 \\ 2(1-9i²)+(-a-a3i)+5-b=0 \\ Är det rätt såhär långt? \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} z_2=-1+3i \\ 2(-1+3i)²+a(-1+3i)+5-b=0 \\ 2(1+9i²)+(-a+a3i)+5-b=0 \end{gathered}$$

Är detta rätt så långt?

Du kan inte flytta in upphöjt i parentesen. Det är vad kvadreringsregler är till för.

okej, blir det såhär då? 

$$\begin{gathered} z_1=-1-3i \\ 2(-1-3i)²+a(-1-3i)+5-b=0 \\ 2(-1-6i+9i)+a(-1-6i)+5-b=0 \end{gathered}$$

Rätt tänkt, men du har tappat en kvadrat på i bakom 9, och på första (-1)

Menar du att det ska vara? $-1²-6i+9i²$

Ja

Blir det i nästa led:

2(-1-6i+9i²)+a(-1-18i²)+5-b=0

Nej. Gå igenom det igen, tror du kan hitta felen själv.

2(-1²-6i+9i²)+a(-1²-6i+9i²)+5-b=0

och sedan

(-2-12i²+18i⁴)+(-a-a6i+a9i²)+5-b=0

Nej det stämmer inte.

Försök att ta små små steg, ett i taget.

Eftersom z₁ = -1-3i så är z₁² = (-1-3i)² = (-1)² +6i+9i² = 1+6i-9 = 6i-9

Och då är 2•z₁ = 2•(6i-9) = 12i-18.

Och a•z₂ blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.

Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi

12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs

12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs

b-a-13+(12-3a)i = 0

Detta ger oss de två ekvationerna

• för realdelen: b-a-13 = 0
• för imaginärdelen: 12-3a = 0

=======

Gör nu på samma sätt med z₂

Tillägg: 25 maj 2022 17:36

Ser nu att jag har skrivit flera fel i svaret.

Till att börja med så är z₁² = 6i-8 och inte 6i-9.

Sen har jag skrivit +b istället för -b på ett ställe.

Det ska alltså till slut bli

För realdelen: -a-b-11 = 0

För imaginärdelen: 12-3a = 0

Och egentligen räcker detta för att nedstämda att a = 4 och således att b = -15

tack för all hjälp, ska försöka

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte.

Försök att ta små små steg, ett i taget.

Eftersom z₁ = -1-3i så är z₁² = (-1-3i)² = (-1)² +6i+9i² = 1+6i-9 = 6i-9 (Ska det inte vara -6i??????????) enligt kvadreringsregeln

Och då är 2•z₁ = 2•(6i-9) = 12i-18.

Och a•z₂ blir då a•(-1-3i) = -a-3ai.

Om vi nu sätter in det i vår ekvation får vi

12i-18+(-a-3ai)+5-b = 0, dvs

12i-18-a-3ai+5+b = 0, dvs (ska det inte vara -b här) ?????????????

b-a-13+(12-3a)i = 0

Detta ger oss de två ekvationerna

• för realdelen: b-a-13 = 0
• för imaginärdelen: 12-3a = 0

=======

Gör nu på samma sätt med z₂

$$\begin{gathered} z_2=-1+3ai \\ 12i-18+(-a+3ai)+5-b=0 \\ Om jag följer det sättet du gjorde så bör det bli \\ b-a-13+(12+3a)i=0 \\ im del: 12+3a=0 \\ reell del: b-a-13=0 \end{gathered}$$

a= -4 och b= 9

Det enda jag inte hänger med på gällande z1 är nu varför det blir +b istället för -b.

Nu har jag räknat att jag får a= 4 och b= 9 

Jag har slarvat och skrivit flera fel i svar #18.

Se tillagd kommentar där.

var gör jag fel????

OliviaH skrev:

var gör jag fel????

Blått: Du ändrade en konstant. Det gav dig fel resultat på slutet.

Rött: Bara Skrivfel, påverkar inte resultatet.

Ska det vara (3i)²?

Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0? 

EDIT: glömde att subtrahera med 5...

OliviaH skrev:

 

Ska det vara (3i)²?

Js

Om det ska vara 16 blir det -4-(-15)-16 och det blir inte 0? 

EDIT: glömde att subtrahera med 5...

Jag förstår inte vad du menar.

Börja om från -12i-16-a+3ai+5-b = 0