Ekvation från normalform till parameterform

Du behöver hitta en riktningsvektor $\overrightarrow{v}$ till linjen. Du kan då skriva linjen som P + t$\overrightarrow{v}$.

Riktningsvektorn $\overrightarrow{v}$ skall vara ortogonal mot normalvektorn $\overrightarrow{n}$. Den skall således uppfylla

$\overrightarrow{v}$•$\overrightarrow{n}$ = 0. Tex $\overrightarrow{v}$ = (3, -2) skulle duga.

Okej, förstår hur du hittar riktningsvektorn v. Jag valde att använda punkten P: (-1,1). Blir då ekvationen på parameterform:

$\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y\hspace{0.17em}= 1-2t\end{array}\right.$ 

Du kan dubbelkolla. Är det konsistent med ekvationen 2x + 3y - 1 = 0?

2(-1+3t)+3(1-2t)-1 = -2+6t+3-6t-1=0. Check!

Ett annat sätt att lösa det är att lösa ekvationen 2x+3y-1=0. Eftersom det är en linjär ekvation kan vi lösa den genom att ta partikulärlösning + homogen lösning, pss man löser diffekvationer. Vi vet att (-1, 1) är en lösning - vår partikulärlösing. Den homogena ekvationen är

2x+3y=0.

Vilket ger att vi tex kan välja x godtyckligt x=t och vi får sedan y=-$\frac{2}{3}$t, dvs

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ = t$\left[\begin{array}{c}1\\ -\frac{2}{3}\end{array}\right]$ = $\frac{t}{3}\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$. Eftersom t är en godtycklig parameter så kan vi se t/3 som en godtycklig parameter som vi lika gärna kan döpa om till t. Så den homogena lösningen kan skrivas

$\left[\left.\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=t\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right.\right]$, där t är en godtycklig parameter. Den allmänna lösningen blir då

$\left[\left.\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right.\right]$.

Vilket är samma som tidigare.