Ekvation för fältlinje kroklinjigt koordinatsystem

Jag vet att ekvationen för fältlinjer är följande för ett vektorfält i xy-planet:

$\frac{d y}{d x} = \frac{A_{y}}{A_{x}}$

Hur får jag fram fältlinjernas ekvation för ett vektorfält skrivet i tex sfäriska koordinater?

E.x : $A = r \cos θ \vec{e_{r}} + r \sin θ \vec{e_{θ}}$

Ekvationen för fältlinjer är

$\frac{d \vec{r}}{d t}$ = $λ$ $\vec{A}$ .

Vidare med utnyttjande av kedjeregeln

$\frac{d \vec{r}}{d t} =$ $\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}$ $\dot{r}$ + $\frac{\partial \vec{r}}{\partial θ}$ $\dot{θ}$ + $\frac{\partial \vec{r}}{\partial φ}$ $\dot{φ}$ .

Kommer du vidare nu?

Se mera information här:

https://people.kth.se/~karim/matematik3/forelasningar/Forelasning8.pdf

$\frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{d \vec{r}}{d r} λ (r \cos θ) + r \frac{d \vec{r}}{d θ} λ (r \sin θ) + \frac{d \vec{r}}{d φ} λ (0) \Leftrightarrow \frac{d \vec{r}}{d t} = λ \cos θ + λ r^{2} \cos θ \frac{d \vec{r}}{d φ} = 0 \Rightarrow φ = k o n s \tan t$

Nja, det där såg konstigt ut.

Tänk på att tex $\frac{\partial \vec{r}}{\partial r}$ = $h_{r}$ ${\vec{e}}_{r}$ . Så du har att

$\frac{d r}{d t}$ $h_{r}$ ${\vec{e}}_{r}$ + $\frac{d θ}{d t}$ $h_{θ}$ ${\vec{e}}_{θ}$ + $\frac{d φ}{d t}$ $h_{φ}$ ${\vec{e}}_{φ}$ = $λ$ ( $A_{r}$ ${\vec{e}}_{r}$ + $A_{θ}$ ${\vec{e}}_{θ}$ + $A_{φ}$ ${\vec{e}}_{φ}$ ), vilket ger dig tre skalära ekvationer.

Har kollat lite i dokumentet du skickade, och har försökt med detta:

$h_{r} \frac{d r}{d t}$ = $λ A_{r}$ , $h_{r}$ = 1

$h_{θ} \frac{d θ}{d t}$ = $λ A_{θ}$ , $h_{θ}$ = $r$

$h_{φ}$ $\frac{d φ}{d t}$ = $λ A_{φ}$ , $h_{φ}$ = $r \sin θ$

Tack, hur väljer jag lämpligast lambda när jag sen ska integrera för att få ett uttryck för r?

Varför har du $\frac{1}{r \sin θ}$ i den sista ekvationen? $h_{φ}$ = $r \sin θ$ .

Titta på Ex. 4 i dokumentet från KTH för inspiration till hur man kan gå tillväga.

Det ska givetvis bara vara r*sin(theta), det har du rätt i

Svara

Visa senaste svar