Ekvation av komplext tal - lösa på enklast sätt?

jollan84 skrev :

Hej,

Jag har suttit med den här uppgiften ett bra tag nu och kan inte få den rätt.

$z^2-z(5+5i)+2+11i=0$

Z ska lösas ut i det komplexa talet.

 

Sätt 1: $z^2-z(5+5i)=-2-11i$

Efter att sätta -2-11i i HL har jag satt z som $\left(a+bi\right)$ (samt $z^2$ till ${\left(a+bi\right)}^2$) i VL. Sedan försöker jag få ut termer i VL så att jag kan särskilja de reella från de imaginära rötterna och på så sätt ska jag kunna sätta att allt reellt i VL = -2 och allt imaginärt (förutom i) i VL = -11. Dock slutar jag allt med att ha en komplex uträkning, oavsett om jag först bryter ut z. Jag verkar inte få ut något svar utan slutar med a och b i höga potensgrader för båda ekvationerna i ekvationssystemet.

 

Sätt 2: Jag har även gjort om 5+5i till polär form och satt $z=r(\cos x+i\sin x)$ samt att $z^2=r(\cos 2x+i\sin 2x)$, men här verkar uträkningarna inte heller bli så mycket bättre och jag får inte ut något svar.

 

Kan någon tipsa mig om hur jag bör gå tillväga?

 

Tack på förhand!

MVH Josephine

Du kan också kvadratkomplettera eller använda pq-formeln direkt.

Hej!

Ett tips är att kvadratkomplettera, skriv om ekvationen på formen:

$(z-\frac{5+5i}{2})^2+a+bi=0$

Sätt sedan $w=z-\frac{5+5i}{2}$. Då kan du reducera problemet till att ta roten ur ett komplext tal, vilket du enklast gör genom att gå över till polär form.

Hej,

Tack både Yngve och Tomas.

Jag hade testat att göra pq-formeln (som Yngve föreslog), men det blir rätt komplicerade uträkningar där med.

Kvadratkomplettering hade jag inte tänkt på, vilket jag antar funkar bra här eftersom man då samlar allt z i en enda term. Dock vet jag att vi inte får använda miniräknare till stor del under vår kommande tenta och det kan bli något komplicerat att räkna ut vinkeln för den polära formen av $\frac{3}{2}i-2$

Radien r blir så klart $\frac{5}{2}$, men vinkeln kommer att bli svår att räkna ut för hand då tan v = $\frac{\frac{3}{2}}{-2}=-\frac{3}{4}$

Eller tänker jag fel?

Tack än en gång!