Ekvation
Hur forsätter jag, frågan ska lösas utan räknare
Sätt y = sin(x) och leta efter reella rötter till tredjegradsekvationen i y .
Eftersom den konstanta termen är lika med -1 , kan man prova med 1 och -1 .
Dividera sedan polynomet med (y - 1) resp (y + 1).
Kvoten blir då ett andragradspolynom.
Lös motsvarande andragradsekvation.
Tillägg: 1 okt 2024 13:15
Denna kompakta kommentar utvecklas och förklaras av Yngve i #8
cos 2x= sin(90-2x) Således sin 3x =sin(90-x) Två sin-värden är lika omm vinklarna är lika eller är komplementvinklar. Allt gäller som vanligt modulo 360 grader.
Kommentar: När du skriver så här
så betyder det sin(2x)+x.
Du måste använda parenteser och istället skriva sin(2x+x).
Yngve skrev:Kommentar: När du skriver så här
så betyder det sin(2x)+x.
Du måste använda parenteser och istället skriva sin(2x+x).
Yess, du har helt rätt jag har glömt parantesen, men jag förstod inte riktigt Arktos svar. Jag har läst frågan med Tomtens metod men vill veta varför jag fastnar med den här metoden
user54321 skrev:
[...]
men jag förstod inte riktigt Arktos svar. Jag har läst frågan med Tomtens metod men vill veta varför jag fastnar med den här metoden
Du har ekvationen
3sin(x)-4sin3(x)+2sin2(x)-1 = 0
Om du nu ersätter sin(x) med y (dvs om du gör en variabelsubstitution) så får du ekvationen
3y-4y3+2y2-1 = 0
Summan av koefficienterna är lika med 0, vilket betyder att y = 1 är en lösning.
Det betyder i sin tur att (y-1) är en faktor I polynomet 3y-4y3+2y2-1.
Vi kan därför faktorisera polynomet som (y-1)(ay2+by+c), där a, b och c är konstanter, som kan bestämmas antingen med hjälp av polynomdivision eller genom att multiplicera ihop faktoriseringen och identifiera koefficienter.
(Säg till om du vill ha hjälp med någon av dessa metoder.)
Nästa steg är att använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen (y-1)(ay2+by+c) = 0 i de två delarna
y-1 = 0
och
ay2+by+c = 0
Lös ut de tre y-vördena och substituera sedan tillbaka från y till sin(x).
Lös sedan ut x så är du klar.
Tack, Yngve, för att du utvecklade mitt mycket kortfattade svar i #2 !
Ekvationen i y har rötterna 1 , 1/4 (-1 + Sqrt[5]) och 1/4 (-1 - Sqrt[5])
så det återstår att lösa dessa tre ekvationer:
(1) sin(x) = 1
(2) sin(x) = (Sqrt[5] - 1)/4 Sqrt[5] = [roten ur 5]
(3) sin(x) = -(Sqrt[5] + 1)/4
Den första klarar vi lätt,
men de andra klarar vi bara om vi vet vilka vinklar som har just dessa sinus-värden.
Numerisk lösning är förstås alltid möjlig, men då får vi endast närmevärden.
Den "helt trigonometriska" lösningsmetoden i #3 kommer att ge exakta svar.
Vi kan därför uttnyttja dem för att se vilka vinklar som löser (2) och (3), om vi vill.
Till en "helt trigonometrisk" ekvation som denna
är det tydligen bäst att hitta en "helt trigonometrisk" lösningsgång.
