Ekvation

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Se kommentarer nedan.

CDDJoey skrev:

Bestäm alla positiva heltalslösningar till

1/x+1/y+1/z+1/xy+1/zx+1/xyz=1

Det jag gjorde var att jag multiplicerade allt med xyz

Visa ditt mellansteg, vad fick du då?

Sen har jag tagit x innan parantes och fått följande

X(z+y+1)+yz+z+y+1=xyz

Visa hur du gjorde för att komma dit.

Tänkte om det går att göra såhär

X(z+y+1)+yz+(z+y+1)=xyz

X(z+y+1)+1(z+y+1)=xyz-yz

(X+1)(z+x+1)=yz(x-1)

Ja juste har skrivit fel, det saknades 1/yz

1/x+1/y+1/z+1/xy+1/yz+1/zx+1/xyz=1

Man kan försöka begränsa en variabel i taget. Kan alla vara större än 4?

Låt
$f\left(x,y,z\right) = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xyz}$

Värdet på denna funktion är oberoende av ordning på de tre ingångsvärdena.
Vi kan därför utan förlust anta att $x\le y\le z$

Vi kan nu testa olika alternativ ett i taget:

1. $x =\hspace{0.17em}1$:
   $f\left(1,y,z\right) =\hspace{0.17em}1+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{2}{yz}>1$
2. $x=2$:
   $f\left(2,y,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}+\frac{3}{2y}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{2yz}$
   1. $y =\hspace{0.17em}2:$
      $f(2,2,z) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{4z}=\frac{5}{4}+\frac{9}{4z}>1$
   2.  $y = 3$:
      $f\left(2,3,z\right) = \frac{1}{2}+\frac{3}{6}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{6z}=1+\frac{2}{z}>1$
   3.  $y = 4$:
      $f\left(2,4,z\right) = \frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{8z}=\frac{7}{8}+\frac{15}{8z}$
      $\Rightarrow f\left(2,4,15\right)=1$
   4. $y=5$:
      $f\left(2,5,z\right) = \frac{1}{2}+\frac{3}{10}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{10z}=\frac{8}{10}+\frac{18}{10z}$
      $\Rightarrow f\left(2,5,9\right)=1$
   5.  $y=6$:
      $f\left(2,6,z\right) = \frac{1}{2}+\frac{3}{12}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{12z}=\frac{9}{12}+\frac{21}{12z}$
      $\Rightarrow f\left(2,6,7\right)=1$
   6.  $y=7$:
      $f\left(2,7,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}+\frac{3}{14}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{14z}=\frac{10}{14}+\frac{24}{14z}<1 \left\{\forall z \therefore 7\le z\right\}$
      $\Rightarrow f\left(2,y,z\right) <1 \left\{\forall (y,z) \therefore 7\le y\le z\right\}$
3. $x=3$:
   $f\left(3,y,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}+\frac{4}{3y}+\frac{4}{3z}+\frac{4}{3yz}$
   1.  $y=3$:
      $f\left(3,3,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}+\frac{4}{9}+\frac{4}{3z}+\frac{4}{9z} =\hspace{0.17em}\frac{7}{9}+\frac{16}{9z}$
      $\Rightarrow f\left(3,3,8\right)=1$
   2.  $y=4$:
      $f\left(3,4,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}+\frac{4}{12}+\frac{4}{3z}+\frac{4}{12z}=\frac{8}{12}+\frac{20}{12z}$
      $\Rightarrow f\left(3,4,5\right)=1$
   3.  $y=5$:
      $f\left(3,5,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{3}+\frac{4}{15}+\frac{4}{3z}+\frac{4}{15z}=\frac{9}{15}+\frac{24}{15z}<1 \left\{\forall z \therefore 5\le z\right\}$
      $\Rightarrow f\left(3,y,z\right) <1 \left\{\forall (y,z) \therefore 5\le y\le z\right\}$
4. $x=4$:
   $f\left(4,y,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{4}+\frac{5}{4y}+\frac{5}{4z}+\frac{5}{4yz}$
   1.  $y=4$:
      $f\left(4,4,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{5}{4z}+\frac{5}{16z}=\frac{9}{16}+\frac{25}{16z} <1 \left\{\forall z \therefore 4\le z\right\}$
      $\Rightarrow f\left(4,y,z\right) <1 \left\{\forall (y,z) \therefore 4\le y\le z\right\}$

$\Rightarrow f\left(x,y,z\right) <1 \left\{\forall (x,y,z) \therefore 4\le x\le y\le z\right\}$

Ville tacka för snabba svar! Är ny i den matematiska värden och i stort sätt själv lärt så har en fundering

jarenfoa skrev:

2.6  $y=7$:
$f\left(2,7,z\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{2}+\frac{3}{14}+\frac{3}{2z}+\frac{3}{14z}=\frac{10}{14}+\frac{24}{14z}<1 \left\{\forall z \therefore 7\le z\right\}$
$\Rightarrow f\left(2,y,z\right) <1 \left\{\forall (y,z) \therefore 7\le y\le z\right\}$

 

Vad betyder ∀ symbolen?

$\forall$ symbolen ska läsas som: "för alla"
$\therefore$ symbolen ska läsas som: "så att"

$\forall z \therefore 7\le z$ ska därför läsas som: "för alla z så att sju är mindre än eller lika med z"