Ekvation

Din multiplikation är inte riktigt rätt. Gör om den.

Det som du gör sedan (tredje roten med mera) är inte alls rätt.

Samla istället alla termer på ena sidan av likhetstecknet och faktorisera till ett tredjegradspolynom.

Du har då ett trdjehradspolynom som ska vara lika med 0 för alla värden på x.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Din multiplikation är inte riktigt rätt. Gör om den.

Det som du gör sedan (tredje roten med mera) är inte alls rätt.

Samla istället alla termer på ena sidan av likhetstecknet och faktorisera till ett tredjegradspolynom.

Du har då ett trdjehradspolynom som ska vara lika med 0 för alla värden på x.

Kommer du vidare då?

Jag tror kanske att frågan är lite för tidig, jag vet inte hur man gör det..

Jag har:

ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c - x^3 - x^2 + 2 = 0

Sedan är inga variabler likadana, så jag vet inte hur man beter sig. Jag hade någon tanke om att bryta ut exempelvis X^3 ifrån ax^3 för att kunna få bort det. Ska man baka in allt i paranteser igen? Har sett något sånt exempel någon gång, prövar.

X(ax^2 + bx + c - ax - b - x^2 - x-c)  + 2 = 0.

Dkcre skrev:

Jag har:

ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c - x^3 - x^2 + 2 = 0

Det är rätt.

Det jag menade med att faktorisera var att skriva ekvationen på följande sätt:

(a-1)x³+(b-a-1)x²+(c-b)x+(2-c) = 0

Du har alltså i vänsterledet ett polynom på formen Ax³+Bx²+Cx+D och i högerledet värdet 0.

Polynomet i vänsterledet måste alltså vara identiskt lika med 0 oavsett vilket värde x har.

Det ställer ett speciellt krav på konstanterna A, B, C och D.

Kommer du vidare då?

Dkcre skrev:

Jag har:

ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c - x^3 - x^2 + 2 = 0

Ett annat sätt att uttrycka vad Yngve skrev:

Hur många x³ har du i vänsterledet? Hur många i högerledet? De är lika.

Hur många x² har du i vänsterledet? Hur många i högerledet? De är lika.

Hur många x har du i vänsterledet? Hur många i högerledet? De är lika.

Vad är konstanten i vänsterledet? I högerledet? De är lika.

Har inte gjort det här förut så hänger inte riktigt med, kikar närmare imorgon, får se om jag hänger med. Har suttit med matten hela dagen så är lite slutkörd.

Dkcre skrev:

Har inte gjort det här förut så hänger inte riktigt med, kikar närmare imorgon, får se om jag hänger med. Har suttit med matten hela dagen så är lite slutkörd.

Vi tar ett par enklare exempel som illustrerar hur du kan tänka.

• En nolltegradsekvation: Om det ska gälla att A = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A vara lika med 0. 
• En förstagradsekvation: Om det ska gälla att Ax + B = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A och B vara lika med 0. 
• En andragradsekvation: Om det ska gälla att Ax² + Bx + C = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A, B och C vara lika med 0. 

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Har inte gjort det här förut så hänger inte riktigt med, kikar närmare imorgon, får se om jag hänger med. Har suttit med matten hela dagen så är lite slutkörd.

Vi tar ett par enklare exempel som illustrerar hur du kan tänka.

• En nolltegradsekvation: Om det ska gälla att A = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A vara lika med 0. 
• En förstagradsekvation: Om det ska gälla att Ax + B = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A och B vara lika med 0. 
• En andragradsekvation: Om det ska gälla att Ax² + Bx + C = 0 för alla möjliga värden på x så måste både A, B och C vara lika med 0. 

Okej, det är jag med på.

Vart kan jag läsa mer om den här metoden att ändra till 0 i högerledet? Det är första uppgiften i boken som ska lösas på det här sättet och metoden har inte nämnts tidigare.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Jag har:

ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c - x^3 - x^2 + 2 = 0

Det är rätt.

Det jag menade med att faktorisera var att skriva ekvationen på följande sätt:

(a-1)x³+(b-a-1)x²+(c-b)x+(2-c) = 0

Du har alltså i vänsterledet ett polynom på formen Ax³+Bx²+Cx+D och i högerledet värdet 0.

Polynomet i vänsterledet måste alltså vara identiskt lika med 0 oavsett vilket värde x har.

Det ställer ett speciellt krav på konstanterna A, B, C och D.

Kommer du vidare då?

När du skriver om ekvationen så har du skrivit in a-1 i första parantesen, vart kommer -1 ifrån?

Jag förstår (c-b)x och (2-c) men de första två är jag inte med på logiken.

Nej vänta, jag är med, i och med att det står -X^3 så har du representerat det som -1X^3, där kommer -1 ifrån. Och eftersom dom har samma exponent går dom att "faktorisera"? Finns det någon lag som förklarar detta?

Du skriver konstant D, är det en felskrivning eller skapar vi själva D utifrån 2-C?

Ska försöka lösa uppgiften.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Jag har:

ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c - x^3 - x^2 + 2 = 0

Det är rätt.

Det jag menade med att faktorisera var att skriva ekvationen på följande sätt:

(a-1)x³+(b-a-1)x²+(c-b)x+(2-c) = 0

Du har alltså i vänsterledet ett polynom på formen Ax³+Bx²+Cx+D och i högerledet värdet 0.

Polynomet i vänsterledet måste alltså vara identiskt lika med 0 oavsett vilket värde x har.

Det ställer ett speciellt krav på konstanterna A, B, C och D.

Kommer du vidare då?

Så, i första har vi (a-1) x^3. Oavsett så måste det här bli 0 annars går inte ekvationen ihop. Så a måste vara = 1.

(b-a-1) här vet vi redan att a är 1, och vi vet att dom tillsammans måste bli 0. Alltså måste b vara = 2 = (2-1-1)

(c-b) b vet vi är 2, alltså måste c vara 2.

Så (2-2).

Det gör att ekvationen som vi har skrivit om stämmer. Alltså är a= 1 b=2 och c=2.

Har jag tänkt rätt?

Utifrån materialet jag arbetar med här så kan jag inte begripa hur jag skulle kunna ha kunskapen att lösa den här uppgiften om man utgår ifrån frågorna och exemplen som leder fram till den här frågan. Nåväl..

Tack för hjälpen.

En annan fråga, på engelska pratar man om att lösa en sån här ekvation med att 'compare coefficients', vad innebär den metoden? Kanske är det vi har gjort här.

En annan fråga, på engelska pratar man om att lösa en sån här ekvation med att 'compare coefficients', vad innebär den metoden? Kanske är det vi har gjort här.

Det är precis det man gjort här.

Koefficienten är faktorn som står framför resp x-term

Du kan även tänka så här:

Vi har en ekvation

a₁x³+b₁x²+c₁x+d₁ = a₂x³+b₂x²+c₂x+d₂

Vi kan nu se vänsterledet som en tredjegradsfunktion f(x) och högerledet som en tredjegradsfunktion g(x). Ekvationen kan då skrivas f(x) = g(x).

Om vi nu tänker oss att vi nu ritar de två graferna y = f(x) och y = g(x) i samma koordinatsystem så säger ekvationen att dessa båda grafer sammanfaller i alla punkter. 

Den enda möjligheten att graferna sammanfaller överallt är att de båda funktionerna är identiska, vilket medför att koefficienterna är lika stora, dvs a₁ = a₂, b₁ = b₂, c₁ = c₂ och d₁ = d₂.

Vi kan alltså "compare coefficients"/"identifiera koefficienter" för att komma framåt i lösningen.