ekvation

Hej!

Vilken slags tal får $x$ lov att vara? Reellt? Komplext?

Albiki

Hej igen,

Ursäkt för de sena responsen men x får vara komplext. 

de moivres formel!

Skriv om formeln till $x^4= -4$, dra roten ur så blir det 2i eller -2i, dra roten ur en gång till så får du totalt 4 rötter.

-2i är ju inte helt uppenbar vad den har för kvadratrot, så jag skulle föreslå en lite annan lösning.

Sätt att 

$x=r{e}^{i\theta }$

där r är beloppet av x och $\theta$ argumentet. Sedan skriver du -4 på samma sätt (tänk på att r måste vara positivt). Med din ansättning kan du nu skriva 

$x^4=r^4{e}^{i4\theta }$

Om du sätter det lika med -4 på den nua formen kan du nu jämför argument och belopp separat. Tänk på att det trillar ut ett +2*pi*n från vinkeln på -4 (det skrivs inte i formen för -4, men sen måste du ändå ha med det i jämförelsen för att få med alla lösningar).

Jag skulle ha löst det grafiskt genom att rita ut -4 i det komplexa talplanet och sen fundera på vilka 4 komplexa tal z1, z2, z3, z4 som ger resultatet -4 när de upphöjs till 4.

Med en dåres envishet tjatar jag om de Moivres formel som du kan läsa om här: http://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/de-moivres-formel

Den är utomordentligt användbar när du ska lösa potensekvationer.