Ekvation

Lös ekvationen 

$\sqrt{x+\frac{1}{x}-3} + x² + \frac{1}{x²}=7$

jag använde variabelsubstitution, $x+\frac{1}{x}=a$

$$\begin{gathered} \sqrt{a-3}+ a-2=7 \\ \sqrt{a-3}=9-a \\ a-3 =\hspace{0.17em}(9-a)² \\ a-3 = 81 -18a + a² \\ a² -19a+84 = 0 \end{gathered}$$

pq formeln ger att 

$a =-\hspace{0.17em}\frac{-19}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{19}{2}\right)² - 84}$

Den här ekvationen saknar reella lösningar så jag blev tvungen att sätta in $1+\frac{1}{x}$ i ekvationen igen  dvs 

$$\begin{gathered} (x+\frac{1}{x})² -19(x+\frac{1}{x}) + 84 \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ x² +2+\frac{1}{x} -19x-\frac{19}{x}+84=0 \\ x² -19x-\frac{18}{x}+86 =\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$

kan man undvika detta på något sätt eller måste man byta variabel igen för att lösa ekvationen?