ekvation

Det är en bra början! Vad fick du när du gjorde så? Det är svårt för oss att hjälpa dig om vi inte vet var du kört fast. :)

$$\begin{gathered} z+(1+i)\overline{z}=1-i blir z+\overline{z}+\overline{z}i=1-i \\ rempl. z och \overline{z} \\ a+bi + a-bi +ai+b{i}^2=1-i \\ Samlar alla delar VL \& eftrsom i^2=-1 borde uttrycket bli \\ 2a+ai-b=1-i \\ kmr inte vidare efter det här \end{gathered}$$

Utmärkt! Nu samlar vi realdelar respektive imaginärdelar: 

$$\begin{gathered} \left(2a-b\right)+\left(ai+i\right)=1 \\ \left(2a-b\right)+i\left(a+1\right)=1 \end{gathered}$$

Eftersom imaginärdelen i HL är noll, ska $\left(a+1\right)$ vara lika med noll, vilket ger oss $a=-1$. 

Hur blir det med realdelen?

Realdelen VL (2a-b) ska vara lika med HL 1

2*-1 -b=1

b=-3

Denna tråd försvann i min inkorg, tyvärr. Nedan finns en fullständig lösning för den som kommer via någon sökmotor eller på något annat sätt hittar tråden.

Sätt $z=a+bi$. Då blir $\overline{z}=a-bi$. Insättning i ekvationen $z+\left(1+i\right)·\overline{z}=1-i$ ger då: 

$$\begin{gathered} \left(a+bi\right)+\left(1+i\right)·\left(a-bi\right)=1-i \\ a+bi+\left(a+ia-bi-b{i}^2\right)=1-i \\ 2a+b+bi-bi+ai=1-i \\ 2a+b+ai=1-i \end{gathered}$$

Realdelarna i vänsterledet, $2a+b$, ska vara lika med realdelen i högerledet, $1$. På samma sätt ska imaginärdelen i vänsterledet, $ai$, ska vara lika med imaginärdelen i högerledet, $-i$. Dessa krav ger ekvationssystemet: 

$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ ai=-i\end{array}\right.$

Detta ger lösningen: 

$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ ai=-i\end{array}\right.~ \left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=-1\end{array}\right.$

Vilket ger svaret $z=-1+3i$. Det är inte samma som facit, men det är det korrekta svaret. Vi kan sätta in denna lösning i ursprungsekvationen för att testa lösningen: 

$$\begin{gathered} \left(-1+3i\right)+\left(1+i\right)·\left(-1-3i\right)\stackrel{?}{=}1-i \\ -1+3i+\left(-1-i-3i-3i^2\right)\stackrel{?}{=}1-i \\ -1+3i-1-i-3i+3\stackrel{?}{=}1-i \\ 1-i=1-i \end{gathered}$$

Vårt svar stämmer.