14 svar

242 visningar

Ekvation

Hej

Jag har kört fast och skulle behöva hjälp med att lösa:

xyz=x+y+z

xyt=x+y+t

xzt=x+z+t

yzt=y+z+t

Jag döpte om termerna till a=xyz,b=xyt,c=xzt,d=yzt

Sedan började jag med att ta den första raden och subtrahera med den andra, den andra med den tredje och den tredje med den fjärde och fick då:

a-b=z-t

b-c=y-z

c-d=x-y

Sedan adderade jag rad 1 med rad 2 och rad 2 med rad 3 och fick:

a-c=y-t

b-d=x-z

Jag räknade om och fick även att om man tar första raden minus 2,3,4 raden får man:

a-b=z-t

a-c=y-t

a-d=z-t

och tar sedan rad 1 - rad 2 får vi c-b=z-y

rad 1 - rad 3= d-b=z-x

rad 2 - rad 3 = d-c=y-x

Kan man då säga att:

a=-t

b=-z

c=-y

d=-x

Jag tror denna fråga finns besvarad tidigare i forumet, men det är nog inte speciellt lätt att hitta den. Hursomhelst, vi har att

$(1) x y z = x + y + z (2) x y t = x + y + t (3) x z t = x + z + t (4) y z t = y + z + t$

Subtrahera ekvation (2) från (1), (3) från (2), (4) från (3) och (4) från (1) så får man att

$x y (z - t) = z - t x t (y - z) = y - z z t (x - y) = x - y y z (t - x) = t - x$

Vilket går att skriva om som

$(z - t) (x y - 1) = 0 (y - z) (x t - 1) = 0 (x - y) (z t - 1) = 0 (t - x) (y z - 1) = 0$

Nu kan man utnyttja symmetrin i x, y, z och t och gör antagandet att $x \leq y \leq z \leq t$ (och senare komma ihåg att man gjort detta antagande, om man vill finna komplexa lösningar så får man modifiera detta lite också) och sedan fortsätta att analysera ekvationen.

okej jag förstår fram till sista steget.

Hur menar du att man ska använda symmetrin i x,y,z,t för att få fram värde på dom obekanta vi har? Jag behöver inte svara med komplexa lösningar så det underlättar ju lite i alla fall.

Det antagandet ger dig inte direkt lösningarna, det reducerar däremot vilka fall du måste kontrollera. Om vi säger att $x = t$ under detta antagande så får man ju att $x = y = z = t$ , så vi reducerar alltså vilka fall man behöver gå igenom.

men hur ska man rent praktiskt ta sig igenom det, ska man göra ledvis addition eller multiplikation av raderna? vi har ju exempelvis översta raden (z-t)(xy-1)=0 sätter vi då x=t kan vi skriva om till (z-x)(xy-1)=0 men man skulle ju vilja ha kvar x ensamt i något led.

Vi har flera olika fall att gå igenom, dessa är

x < y < z < t
x = y < z < t
x < y = z < t
x < y < z = t
x = y = z < t
x = y < z = t
x < y = z = t
x = y = z = t

Det kanske inte ser så jätteroligt ut att gå igenom alla dessa fall, men det kommer nog inte vara så farligt.

I fall 1 så har vi att ingen av faktorerna z - t, y - z, x - y eller t - x är noll, därför har vi att vi måste ha att

$x y - 1 = 0 x t - 1 = 0 z t - 1 = 0 y z - 1 = 0$

Vi kan direkt se här att ekvation 1 och 2 kommer innebära att y = t vilket motsäger vårat antagande om att x < y < z < t. Så här har vi ingen lösning.

I fall 2 så har vi att samma sak inträffar, dvs vi får y = t, så här har vi inga lösningar.

I fall 3 så har vi att vi får ekvationerna

$x y - 1 = 0 z t - 1 = 0 y z - 1 = 0$

Här får vi att t = y vilket motsäger antagandet, så här har vi ingen lösning.

I fall 4 så händer samma sak som i fall 3.

I fall 5 så får vi att

$x y - 1 = 0 y z - 1 = 0$

Eftersom nu x = y = z så innebär detta att $x^2 = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \pm 1$ . Nu kan du gå tillbaka till ursprungliga ekvationen och se vad t måste vara. Du kommer få att det inte finns någon lösning.

Nu är det tre fall kvar som måste gås igenom.

jag vet inte om jag har gjort rätt men jag fick att i fall 6 x=z som inte går då x<z

i fall 7 fick jag samma sak x=z går inte eftrersom x<y=z

i fall 8 gick det eftersom alla termer är lika

Jag är inte riktigt säker på hur du gjorde i fall 6 och fall 7, men jag får hursomhelst inga lösningar där heller. Vilka lösningar får du i fall 8?

i fall 8 får jag att:

xy-1-xt-1=y=t

xt-1-zt-1=x=z

zt-1-yz-1=t=y

dock får jag inget som visar att då x=z och t=y så är x eller z lika med t eller y

I fall 8 så har du ju antagandet att x = y = z = t, detta säg att alla är lika med k. Detta innebär ju att ursprungliga ekvationen blir

$xyz = x + y + z \Leftrightarrow k^3 = 3k$

Så du behöver lösa ekvationen $k^3 = 3k$ .

lösningen till det blir väl antingen 0 eller $\pm \sqrt{3}$

Ja det stämmer.

okej men för att svara fullständigt på uppgiften är då $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ värden för x,y,z,t? så vi kan skriva $x, y, z, t = (0, \sqrt{3}, - \sqrt{3})$

Det är lite konstigt sätt att skriva det på skulle jag säga. Jag skulle bara skriva att lösningarna är att x = y = z = t och de måste vara 0, $\sqrt{3}$ eller $-\sqrt{3}$ .

Svara

Visa senaste svar