Ekvation

Rita upp en graf av funktionen $f(x)=x^3-8x+a$ för några olika värden på a. Hur ser $f(x)$ ut? Vad gör a? :)

Smutstvätt skrev:

Rita upp en graf av funktionen f(x)=x^3-8x+a för några olika värden på a. Hur ser f(x) ut? Vad gör a? :)

Jag förstår vad du menar, och är medveten om att a är där grafen skär y-axeln samt att oavsett a:s värde så kommer det minst finnas en lösning pga att det är en tredjegradsfunktion som därför fortsätter både "uppåt" och "nedåt" vilket gör att den någon gång skär x-axeln. Men vet inte hur jag ska förklara det på ett pedagogiskt sätt som funkar som en allmän förklaring. 

Utmärkt! Det är precis det som uppgiften vill komma åt! Det vanligaste sättet att visa detta på är att undersöka vad som händer då x går mot positiv, respektive negativ oändlighet. Då får du fram att f(x) har både positiva och negativa värden. Därifrån kan du dra slutsatsen att, eftersom f(x) är kontinuerlig och definierad för alla x, måste funktionen korsa x-axeln någonstans, och därmed ha ett nollställe. :)

Smutstvätt skrev:

Utmärkt! Det är precis det som uppgiften vill komma åt! Det vanligaste sättet att visa detta på är att undersöka vad som händer då x går mot positiv, respektive negativ oändlighet. Då får du fram att f(x) har både positiva och negativa värden. Därifrån kan du dra slutsatsen att, eftersom f(x) är kontinuerlig och definierad för alla x, måste funktionen korsa x-axeln någonstans, och därmed ha ett nollställe. :)

Jag förstår! Men hur ska jag beräkna: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }$ när ett tal är okänt i ekvationen?

Du behöver inte veta vilket värde a har, utan endast att a är en konstant. När x går mot oändligheten, och du har termer som $x^3$ och $-8x$, kommer värdet på a, oavsett hur stort det är, inte att göra någon skillnad för funktionens värde. Om det känns konstigt, prova med exempelvis a = 1000. Det värdet påverkar funktionen $f(x)=x^3-8x+a$ väldigt mycket, men när x är 10 000, 100 000, 10 000 000, och ännu större, då gör a:et ingen större skillnad. :)