Ekvation

Vilka svar får du?

Detta är svaren för den andra ekvationen. Men den första ekvationen kan man enkelt se har lösningen 1 t.ex.

Hej!
Skulle du kunna förklara hur du har gått från x^(3x/2) = x^(x^3/2).

Ursprungsekvationen har bara de två lösningarna 1 och 9/4.

x = 0 ingår inte i vänsterledets definitionsmängd eftersom $0^0$ inte är väldefinierat. Alltså kan x = 0 inte vara en lösning 

Varför fungerar x = 1 bara i den ursprungliga ekvationen?

För att 1^x = 1^y inte innebär att x och y måste vara lika.

Du förlorar alltså informationen att x = 1 är en lösning när du sätter exponenterna lika med varandra.

Okej, tack!

En sista sak då, vilken vore den enklaste lösningen i ekvationen?

Vet inte om följande är den enklaste, men den fungerar och hittar alla lösningar algebraiskt:

$x^{\frac{3x}{2}}=x^{x^{\frac{3}{2}}}$

Logaritmera bägge led och använd logaritmlagen $lg(a^b}=b\cdot lg(a)$:

$\frac{3x}{2}\cdot lg(x)=x^{\frac{3}{2}}\cdot lg(x)$

Subtrahera HL från båda sidor:

$\frac{3x}{2}\cdot lg(x)-x^{\frac{3}{2}}\cdot lg(x)=0$

Faktorisera VL:

$lg(x)(\frac{3x}{2}-x^{\frac{3}{2}})=0$

Nollproduktmetoden ger nu de två ekvationerna

1. $lg(x)=0$ med lösning $x_1=1$
2. $\frac{3x}{2}-x^{\frac{3}{2}}=0$

Lösning av ekvation 2:

Addera $x^{\frac{3}{2}}$ till båda sidor:

$\frac{3x}{2}=x^{\frac{3}{2}}$

Logaritmera bägge sidor, använd logaritmlag i HL:

$lg(\frac{3x}{2})=\frac{3}{2}\cdot lg(x)$

Logaritmlag $lg(a\cdot b)=lg(a)+lg(b)$ i VL:

$lg(\frac{3}{2})+lg(x)=\frac{3}{2}\cdot lg(x)$

Subtrahera $lg(x)$ från båda sidor:

$lg(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}\cdot lg(x)-lg(x)$

Förenkla HL:

$lg(\frac{3}{2})=\frac{lg(x)}{2}$

Multiplicera bägge sidor med 2:

$2\cdot lg(\frac{3}{2})=lg(x)$

Logaritmlag i VL:

$lg((\frac{3}{2})^2)=lg(x)$

$(\frac{3}{2})^2=x$

$x_2=\frac{9}{4}$