Ekvation

Hej!

Bestäm det reella talet a i ekvationen $\sin (a x) \times (4 - a^{2}) = 0$

Jag tänker att man sätter varje parentes lika med 0:

$\sin (a x) = 0 a = π \times n, där n är ett heltal$

$(4 - a^{2}) = 0 a = \pm 2$

I facit står det bara $a = \pm 2$ . Varför tar man inte med det första svaret?

Tacksam för hjälp!!

$(4-a^2)\cdot \sin (ax)=0$ .

Jo precis, du tänker "nollprodukt".

Det innebär

$4-a^2=0\qquad (1)$

eller

$ax=n\cdot \pi\qquad (2)$ .

Eller hur?

För att kunna bestämma a är det ekv 1 som ger oss svaret, inte ekv 2

$a=0$ borde väl också gå, från ekvation 2. Men övriga lösningar beror på x, och det är väl inte de man söker.

Du tänker rätt att man ska sätta varje parentes lika med noll, men sedan tänker du fel.

Det är $a x = n \cdot π$ , och för att det ska gälla så måste $a = \frac{n}{x} \cdot π$ . Om ekvationen ska gälla för alla $x$ så måste $n = 0$ , dvs $a = 0$

Så jag skulle vilja ha med $a = 0$ i svaret också. (Vad var den exakta formuleringen i uppgiften?)

Jo, helt rätt Skaft/JohanF.

JohanF skrev:
Du tänker rätt att man ska sätta varje parentes lika med noll, men sedan tänker du fel.
Det är $a x = n \cdot π$ , och för att det ska gälla så måste $a = \frac{n}{x} \cdot π$ . Om ekvationen ska gälla för alla $x$ så måste $n = 0$ , dvs $a = 0$
Så jag skulle vilja ha med $a = 0$ i svaret också. (Vad var den exakta formuleringen i uppgiften?)

Ok!

Uppgiften var egentligen såhär:

Bestäm det reella talet a så att $y = e^{- x} \times \sin a x$ blir en lösning till differentialekvationen $y'' + 2 y' + 5 y = 0$

Min lösning:

Och då kommer jag fram till ekvationen som jag frågade om tidigare...

Ett tips är att använda funktionsvariablerna lite mer. Eftersom de trigonometriska funktionerna deriveras till varann, och exponentialfunktionen till sig själv, återkommer samma uttryck flera gånger. Det kan användas för att städa upp räknandet. Förstaderivatan till exempel:

$y' = -e^{-x}\sin(ax) + ae^{-x}\cos(ax)$

Den första termen där är ju bara y, fast med ett minustecken framför. Så:

$y' = -y + ae^{-x}\cos(ax)$

Andraderivatan blir nu enklare, eftersom den första termens derivata bara blir y':

$y'' = -y' -ae^{-x}\cos(ax) - a^2e^{-x}\sin(ax)$

I den sista termen återkommer funktionen y igen, så vi byter ut det:

$y'' = -y' -ae^{-x}\cos(ax) - a^2y$

Och även mittentermen kan bytas ut, eftersom samma term finns i förstaderivatan. Ur förstaderivatan kan vi då se att $ae^{-x}\cos(ax) = y' +y$ vilket vi kan använda till y'':

$y'' = -y' -(y' + y) - a^2y = -2y' -(a^2+1)y$

Differentialekvationen blir nu mycket prydligare:

$y'' + 2y' +5y = 0 \\ -2y' - (a^2+1)y + 2y' + 5y = 0 \\ (4-a^2)y = 0$

Svara

Visa senaste svar