eigenvektor

Hej!

Lös ekvationssystemet $Av-(1+3i)v = 0$ där $v$ betecknar kolonnvektorn $(x,y)^{T}$ och 0 betecknar nollvektorn i $\mathbb{R}^{2}$.

Är jag språkpolis om jag säger att det svenska ordet är egenvektor? (Eigen betyder egen på tyska, och angliskarna tyckte väl eigen lät bättre än own, så det blev eigenvector. Svenskarna översatte alla orden.)

När jag räknade ut egenvärderna fick jag lambda = -1 +-3i

Tendo skrev:

När jag räknade ut egenvärderna fick jag lambda = -1 +-3i

 Jag håller inte riktigt med dig; matrisens karakteristiska polynom är $\lambda^2-2\lambda+10$ och dess två rötter är

    $\lambda_1=1+i3$ och $\lambda_2=1-i3$.

Albiki skrev:

Hej!

Lös ekvationssystemet $Av-(1+3i)v = 0$ där $v$ betecknar kolonnvektorn $(x,y)^{T}$ och 0 betecknar nollvektorn i $\mathbb{R}^{2}$.

 jag förstår inte riktigt, vi har att A=$\left|\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -2\end{array}\right|$ och (1+3i) men vi vet inte värdet på v och vi ska då lösa $\left|\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -2\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}v\end{array}\right|=\left(1+3i\right)v$ men jag förstår inte riktigt hur man ska lösa det och få att v=$\left[\begin{array}{c}1+i\\ 2\end{array}\right]$

Så länge du förstår vad du själv menar är det bra, men annars är det lite för mycket konstiga klamrar här. En matris skriver man inuti stora rundade parenteser, så här: $\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -2\end{array}\right)$. Med lodräta streck betyder det i stället determinanten, som är ett tal (skalär). För en vektor $v$ betyder $\left|v\right|$ längden på $v$, så det ska inte stå det när du multiplicerar den med en matris.

Klamrarna $\left[...\right]$ kan man använda när det blir för mycket vanliga parenteser i ett uttryck, för tydlighetens skull. De används nog på vektor- eller matrisliknande sätt någonstans också, men just nu kommer jag inte på var.

okej då förstår jag :) men jag förstår fortfarande inte riktigt hur man ska lösa själva uppgiften, $\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+3i\end{array}\right)v$ och hitta att v=$\left(\begin{array}{c}1+i\\ 2\end{array}\right)$

Som Albiki föreslog först: skriv v med komponenterna x och y, så får du två ekvationer med två obekanta när du utför multiplikationen med matrisen.

Okej, då får vi 

$\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+3i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ 

ska vi då ställa upp ekvationssytemet som 

$$\begin{gathered} 4x-3y=1 \\ 6x-2y=3i \end{gathered}$$

Vart tog x och y vägen i HL?

då får vi:

$$\begin{gathered} 4x-3y=x \\ 6x-2y=3iy \end{gathered}$$

men jag ser inte hur man ska komma till $\left(\begin{array}{c}1+i\\ 2\end{array}\right)$

Vad får du om du multiplicerar din vektor i HL med konstanten 3? Gör på samma sätt med konstanten 1+3i.