Bestäm en matris som har b1 som egenvektor med egenvärde 1
Hej!
jag körde fast på 3b). Hur ska man börja?
Jag blir lite förvirrad av formuleringen, för jag tycker du i princip skulle kunna göra exakt som på a
Hondel skrev:Jag blir lite förvirrad av formuleringen, för jag tycker du i princip skulle kunna göra exakt som på a
Det blev jag med. Jag vet liksom inte hur jag ska göra som i a) med endast en egenvektor med tillhörande egenvärde. För mig var a) enklare att göra pga tre egenvektorer och då visste jag att A kommer vara 3x3 matris.
Vektorn b1 är 3-dimensionell, så det kommer fortfarande vara 3x3-matris.
Det jag tänkte var att du på b) bara behöver välja 2 andra egenvektorer som tillsammans med b1 bildar bas för R3. Och då kan du exempelvis välja b2 och b3. Men jag har inte räknat uppgiften så kan inte såga säkert. Dessutom är jag inte säker att jag förstått uppgiftstexten
Hondel skrev:Vektorn b1 är 3-dimensionell, så det kommer fortfarande vara 3x3-matris.
Det jag tänkte var att du på b) bara behöver välja 2 andra egenvektorer som tillsammans med b1 bildar bas för R3. Och då kan du exempelvis välja b2 och b3. Men jag har inte räknat uppgiften så kan inte såga säkert. Dessutom är jag inte säker att jag förstått uppgiftstexten
Aa okej så du menar A(b1,b2,b3)=1*(b1,b2,b3)?
Det är för många negationer i texten, jag blir förvirrad!!
nu har jag istället insett att de kanske menar att alla egenvektorer ska vara parallella med b1? I sådana fall:
Om b1 är en egenvektor kommer även t*b1, där t är ett reellt tal förutom 0, vara en egenvektor. Så alla vektorer som som är parallella med b1 är redan egenvektorer om b1 är egenvektor. Om det endast är dessa som är egenvektorer till matrisen, vad säger det om den algebraiska respektive geometriska multipliciteten av egenvärdet 1?
Hondel skrev:Det är för många negationer i texten, jag blir förvirrad!!
nu har jag istället insett att de kanske menar att alla egenvektorer ska vara parallella med b1? I sådana fall:
Om b1 är en egenvektor kommer även t*b1, där t är ett reellt tal förutom 0, vara en egenvektor. Så alla vektorer som som är parallella med b1 är redan egenvektorer om b1 är egenvektor. Om det endast är dessa som är egenvektorer till matrisen, vad säger det om den algebraiska respektive geometriska multipliciteten av egenvärdet 1?
Asså jag ska alltså hitta tre multiplar av b1 och sätta det som A(b1, 2b1,3b1)=b1,b2,b3 och lösa ut A? Det var ju en smartare ide.
Du kan tex tänka dig en rotation om 90˚ kring b1.
Du kan först beräkna en ON-bas där den första vektorn är parallell med b1. Ställ upp vad rotationsmatrisen blir i denna bas och transformera sedan matrisen till standardbasen.
PATENTERAMERA skrev:Du kan tex tänka dig en rotation om 90˚ kring b1.
Du kan först beräkna en ON-bas där den första vektorn är parallell med b1. Ställ upp vad rotationsmatrisen blir i denna bas och transformera sedan matrisen till standardbasen.
Nu förstår jag inte riktigt.. varför ska jag hitta en on bas som är parallell med b1 när jag kan ta 3*b1 och få en parallell vektor till b1? gällande rotationsmatrisen förstår jag inte..
Bara den första vektorn i ON-basen skall vara parallell med b1.
Om du roterar 90˚ kring b1 så blir alla vektorer som är parallella med b1 oförändrade. Alltså egenvektorer med egenvärde 1. En vektor som inte är parallell med b1 får en ny riktning efter rotationen så den är inte en egenvektor. Så denna transformation uppfyller kraven.
Det är enklast att bestämma matrisen för rotationen först relativt ON-basen och sedan relativt standardbasen mha likformighetstransformation.
PATENTERAMERA skrev:Bara den första vektorn i ON-basen skall vara parallell med b1.
Om du roterar 90˚ kring b1 så blir alla vektorer som är parallella med b1 oförändrade. Alltså egenvektorer med egenvärde 1. En vektor som inte är parallell med b1 får en ny riktning efter rotationen så den är inte en egenvektor. Så denna transformation uppfyller kraven.
Det är enklast att bestämma matrisen för rotationen först relativt ON-basen och sedan relativt standardbasen mha likformighetstransformation.
Vilken vektor menar du skall vara parallell med första vektor? Var kommer ON bas ifrån i detta sammanhang? Det var inte så i a) uppgiften. En annan sak jag inte förstår är hela det här med rotation, ON bas och sen standardbasmatris. Är lost där.
OK vi glömmer det.
Vad händer om du definierar en matris A enligt
Ab1 = b1
Ab2 = b3
Ab3 = -b2?
Uppfyller matrisen A kraven i b)?
PATENTERAMERA skrev:OK vi glömmer det.
Vad händer om du definierar en matris A enligt
Ab1 = b1
Ab2 = b3
Ab3 = -b2?
Uppfyller matrisen A kraven i b)?
Varför skriver du A(b2)=b_3 och Ab3=-b2? Jag kom på om man kan skriva A(b1)=b1 , A(b2)=b2 och A(b3)=b3 och sen (b1,b2,b3)*(b1,b2,b3)^-1
Men om du gör så, då blir ju alla vektorer egenvektorer med egenvärde 1. Du vill att endast vektorer parallella med b1 skall vara egenvektorer. Inga andra vektorer får vara egenvektorer.
PATENTERAMERA skrev:Men om du gör så, då blir ju alla vektorer egenvektorer med egenvärde 1. Du vill att endast vektorer parallella med b1 skall vara egenvektorer. Inga andra vektorer får vara egenvektorer.
Aa okej så vad innebär parallella vektorer till b1? Tex -b1? b2 och b3 är inte paralllella med b1.
Man kan ju komma på A(b1)=b1, A(-b1)=-b1 och A(2b1)=2b1. Dessa vektorer är ju parallella vektorer till b1
Du vet att b1 skall vara egenvektor med egenvärde 1. Det måste därför gälla att
Ab1 = b1.
Men sedan måste man bestämma hur de andra vektorerna skall avbildas.
Ab2 = ?
Ab3 = ?
Jag gjorde först en ansats
Ab2 = b3 och Ab3 = b2 men det fungerade inte eftersom det fanns andra egenvektorer i detta fall.
Sedan gjorde jag ansatsen Ab2 = cb3 och Ab3 = db2. Då såg jag att det saknades egenvektorer om c och d har olika tecken, då jag satte c = 1 och d = -1.
PATENTERAMERA skrev:Du vet att b1 skall vara egenvektor med egenvärde 1. Det måste därför gälla att
Ab1 = b1.
Men sedan måste man bestämma hur de andra vektorerna skall avbildas.
Ab2 = ?
Ab3 = ?
Jag gjorde först en ansats
Ab2 = b3 och Ab3 = b2 men det fungerade inte eftersom det fanns andra egenvektorer i detta fall.
Sedan gjorde jag ansatsen Ab2 = cb3 och Ab3 = db2. Då såg jag att det saknades egenvektorer om c och d har olika tecken, då jag satte c = 1 och d = -1.
Men jag är mer förvirrad över varför vi skapar Ab2=b3 och Ab3 =b2. Jag är med på Ab1=b1
Det var en ansats, dvs en gissning, som visade sig vara fel. Då modifierade jag gissningen och gjorde den lite mera generell och då hittade jag en möjlig lösning.
PATENTERAMERA skrev:Det var en ansats, dvs en gissning, som visade sig vara fel. Då modifierade jag gissningen och gjorde den lite mera generell och då hittade jag en möjlig lösning.
Okej men jag förstår tyvärr inte vad ab3=b2 och ab2=b2.
Vad är det du inte förstår?
PATENTERAMERA skrev:Vad är det du inte förstår?
Jag är med på A(b1)=b1. Men sen förstår jag inte hur vi skall hitta de andra vektorer och utnyttja de andra vektorerna. I a) var det enklare men i b) fattar jag ingenting..
Kan tycka det är en lite konstig uppgift.
Det man är ute efter är att hitta är att b1 ska vara en egenvektor med egenvärde 1, och att endast vektorer parallella med b1 är egenvektorer. Men om b1 är egenvektor är redan alla vektorer parallella med b1 egencekturer. Konsekvensen av det är alltså att matrisen ska ha ett enda egenvärde: 1, som alltså har algebraisk multiplicitet 3. Men eftersom b1 (och vektorer parallell med den) är enda egenvektorn ska den geometriska multipliciteten vara 1. Ett sådant exempel skulle vara en rotationsmatris som roterar alla vektorer runt b1.
Varför jag tycker uppgiften är lite konstig (om det är en tentauppgift) är att man bara ska komma ihåg att ett exempel som uppfyller egenvärde 1 med 3 och 1 som algebraisk respektive geometrisk multiplicitet är en rotationsmatris. För jag har ingen idé hur man kan konstruera det generellt. Men det kanske finns?
