Egenvektorer och egenvärden

Generellt gäller att alla nollskilda vektorer i nollrummet till en linjär operator är egenvektorer svarande mot egenvärdet noll.

Nollrummet till den ortogonala projektionen till linjen består av alla vektorer som är ortogonala mot linjen.

Tänk på egenvektorer som pilar som inte ändrar riktning. När allt ska projekteras på en linje så kommer inget hända med saker som redan ligger på linjen, så ingen förändring=egenvärde 1. Pilar som pekar precis rakt emot riktningen kommer tryckas ihop till att börja och sluta i samma punkt, och det som försvinner har egenvärde 0.

Definitionen för att en vektor $\mathbf{v}\neq0$ är en egenvektor till operatorn F är att $F(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$. Om F projicerar vektorerna på en linje, ja då kommer ju alla vektorer som är parallella med linjen att projiceras på sig själva, dvs om $\mathbf{v}$ är en vektor parallell med linjen kommer $F(\mathbf{v})=\mathbf{v}=1\cdotp\mathbf{v}$ vilket uppfyller definitionen för att vara en egenvektor. Alltså är då alla (nollskilda vektorer) parallella med linjen egenvektorer med egenvärde $\lambda =1$. På samma sätt, om $\mathbf{v}$ är ortogonal mot linjen, ja då kommer ju projektionen bli noll-vektor, så $F(\mathbf{v}) = 0 = 0 \cdotp \mathbf{v}$. Alltså är alla (nollskilda) vektorer ortogonala mot linjen egenvektorer med egenvärde $\lambda=0$.

Hondel skrev:

Definitionen för att en vektor $\mathbf{v}\neq0$ är en egenvektor till operatorn F är att $F(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$. Om F projicerar vektorerna på en linje, ja då kommer ju alla vektorer som är parallella med linjen att projiceras på sig själva, dvs om $\mathbf{v}$ är en vektor parallell med linjen kommer $F(\mathbf{v})=\mathbf{v}=1\cdotp\mathbf{v}$ vilket uppfyller definitionen för att vara en egenvektor. Alltså är då alla (nollskilda vektorer) parallella med linjen egenvektorer med egenvärde $\lambda =1$. På samma sätt, om $\mathbf{v}$ är ortogonal mot linjen, ja då kommer ju projektionen bli noll-vektor, så $F(\mathbf{v}) = 0 = 0 \cdotp \mathbf{v}$. Alltså är alla (nollskilda) vektorer ortogonala mot linjen egenvektorer med egenvärde $\lambda=0$.

Så vad jag tänkte att man kan ta med sig från det där var känslan för vad en egenvektor är, alltså att avbildningen av en egenvektorer är parallell med sig själv (dvs sig själv multiplicerat med ett tal och talet kallas egenvärde). Om man då får frågan "vilka egenvektorer har denna avbildning?" är en möjlig strategi att fundera på om man direkt kan identifiera några vektorer som uppfyller $F(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$