egenvektorer för homogena system

för systemet X' = $(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ X får jag egenvärdena $λ$ = $\pm$ i

det insatt i matriser får jag k₂ = -ik₁

egenvektorn jag får då är k= $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})$ i

Men en annan lösning av (A- $λ$ I)K=0 är k₁=ik₂ vilket resulterar i en annan egenvektor k = $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ i

de olika egenvektorerna ger olika homogen lösning till systemet och jag undrar om båda är rätt eller om det bara är en som är rätt och hur man kommer fram till det isåfall?

Tack på förhand :)

Ja, I detta fall kommer du få två (linjärt oberoende) egenvektorer, en per motsvarande egenvärde. Generellt kan du få upp till n egenvektorer, om A är en n x n-matris. Jag är dock inte säker på att du beräknat den första egenvektorn rätt. Jag får (-i, 1) och (i, 1) när jag räknar fram dem.

Men är det inte så att eftersom att egenvärdena är komplexa så behöver man endast räkna fram egenvektorn för en av de och eftersom att vi fåt två vektorer, en imaginär och en real, så kan vi utav de skriva två lösningar.

Om en matris består av reella tal så gäller att eventuella komplexa egenvärden och egenvektorer dyker upp i konjugerade par; I fallet här så fick vi egenvärdena i och -i, samt egenvektorerna (i, 1) och (-i, 1).

kan du utveckla hur du tänker, jag får fram egenvektorerna genom (A- $λ$ I)K=0 där K = $(\begin{matrix} k 1 \\ k 2 \end{matrix})$

och eftersom k1=ik2 så får vi egenvektorn K= $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) i$

re(k)= $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

im(k)= $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

och vi får två lösningar X1 X2 enligt

X1 = re(k)cost - im(k)sint

X2 = im(k)cost + re(k)sint

Xh = c1X1 + c2X2

Svara

Visa senaste svar