Egenvektorer Egenvärden - Linjär algebra

1. Det kan i 2 x 2-fallet även finnas en annan egenvektor som inte är parallell med (1, 1), säg kanske (1, 0), som kanske hör till ett annat egenvärde. 

2. Det(A - lambda*I) = 0 blir en i m x m-fallet en m:tegradsekvation i lambda. Om du bara får komplexa egenvärden så finns inga reella egenvektorer. 

Dr. G skrev :

1. Det kan i 2 x 2-fallet även finnas en annan egenvektor som inte är parallell med (1, 1), säg kanske (1, 0), som kanske hör till ett annat egenvärde. 

2. Det(A - lambda*I) = 0 blir en i m x m-fallet en m:tegradsekvation i lambda. Om du bara får komplexa egenvärden så finns inga reella egenvektorer. 

1) nja är inte med. Jag tänker att om det heter att egenvektorn är t(1,1) blir inte (-1,-1), (2,2) (3,3) osv egenvektorer då också - alla parallella?

Och får något som kallas egenvektor ha "t-alternativ" som är parallella med den? Alltså under samma egenvärde?

3) om man får fram en egenvektor som tex är t(-1/2, 1) och den enligt facit ska vara t(1/2, 1)

är detta fortfarande rätt svar?

1.

Vi tar en skalär t som inte är 0.  Om x är en egenvektor med egenvärde lambda, så är om även tx en egenvektor med egenvärde lambda.  Enligt antagandet är

$Ax=\lambda x$

så

$A\left(tx\right)=tAx=t\lambda x=\lambda \left(tx\right)$

Så om (1,1) är en egenvektor så är även t(1,1) en egenvektor för alla t (som inte är 0.  nollvektorer räknas inte som egenvektorer) med samma egenvärde.

Det kan dock finnas vektorer som inte är parallella med x som är egenvektorer till matrisen ifråga.

3.

Nej, (-1/2, 1) är inte parallell med (1/2, 1).   (-1/2, -1) eller (1,2) hade gått utmärkt.