Egenvektorer

Jag har svårt att förstå hur man får fram egenvektorer och hoppas någon kan hjälpa mig det detta exempel.

$A = [\begin{matrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}]$ , $d e t (A - λ I) = - λ^{3} + 9 λ^{2} - 18 λ$ $\Rightarrow λ_{1} = 0, λ_{2} = 3, λ_{3} = 6$

Efter radreducering får jag: $λ_{1} = 0 : [\begin{matrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}] \cdot \cdot \cdot$ $[\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{- 1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Det jag nu inte förstår är hur jag tar fram egenvektorer. Har kollat runt på internet men inte riktigt fått grepp om det ändå.

En metod för att hitta egenvektorer är som du gjort först att hitta egenvärdena och sedan för ett specifikt egenvärde ställa upp

$(A - \lambda I)v = 0$

och hitta de v som löser denna ekvation.

Vad du gjort med radreduceringen (om den är korrekt) är att formulerat om ekvationsystemet till den ekvivalenta formen

$[\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 / 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ x \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

vilken nu löses på samma sätt som man vanligtvis gör. Lösningsrummet ger en mängd av egenvektorer men man behöver bara välja ut en av dem, förslagsvis en med lättläst form eller som har längd 1.

Hmm, okej. Vad menar du med "på samma sätt som man vanligtvis gör"?

Kan du lösa ekvationsystem med Gausseliminering till exempel?

$(A - \lambda I)v = 0$

är ett ekvationsystem och man får lösa det med de metoder som man är van vid att använda för att lösa ekvationsystem. Om det blir enklare att se kan man ju skriva om ekvationen till konventionella notation

x - 0.5 y = 0

y + z = 0

och lösa detta för x,y,z beroende av en parameter t så får man något i stil med

(x,y,z) = (a,b,c)*t

där (a,b,c) är en egenvektor.

(Ska såklart vara z längst ner kolumnen [x,y,x] i inlägget ovan men kan inte redigera längre)

Svara

Visa senaste svar