Egenvektor till 3x3-matris

Det kanske är lättare att se att det finns minst ett reellt egenvärde för en 3 x 3-matris med reella matriselement. Hur vet jag det? 

Dr. G skrev :

Det kanske är lättare att se att det finns minst ett reellt egenvärde för en 3 x 3-matris med reella matriselement. Hur vet jag det? 

Jag vet inte. Jag vet att det är ekvivalent men jag ser inte heller det självklara i det.

När jag kollar på det så kommer jag fram till att

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{v}_1+b{v}_2+c{v}_3\\ d{v}_1+e{v}_2+f{v}_3\\ g{v}_1+h{v}_2+i{v}_3\end{array}\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a{v}_1+b{v}_2+c{v}_3=\lambda v_1\\ d{v}_1+e{v}_2+f{v}_3=\lambda v_2\\ g{v}_1+h{v}_2+i{v}_3=\lambda v_3\end{array}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow (a+d+g)v_1+(b+e+h)v_2+(c+f+i)v_3=\lambda v_1+\lambda v_2+\lambda v_3$

Så jag tänkte att om då exempelvis $v_2=0, v_3=0$ och $v_1\ne 0$ så ger den sista ekvationen att $a+d+g=\lambda$ men när jag sätter in det i ekvationssystemet i steget innan ekvationen så ger det att

$\left\{\begin{array}{c}a{v}_1=\lambda v_1=(a+d+g)v_1\\ d{v}_1=0\\ g{v}_1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=\lambda \\ d=0\\ g=0\end{array}\right.$

Och när jag kollar detta så får jag

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{v}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

Vilket, märker jag nu, verkar stämma... Jag vet inte om det jag räknade på nyss stämmer helt dock. Och även om det gör det så känns det som att det bör finnas ett mer uppenbart sätt att komma fram till det.

Det karakteristiska polynomet till matrisen A, dvs $p\left(\lambda \right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}det(A - \lambda I)$, är av tredje ordningen om A är en 3x3 matris. Eftersom alla reella tredjegradspolynom (alla med udda ordning) har en reell rot så måste alltså matrisen A ha ett egenvärde. Detta eftersom rötterna till det karakteristiska polynomet är egenvärdena till matrisen.