Egenvärdens multiplicitet
"egenvärdernas multiplicitet är lika med motsvarande egenrums division" så vad menas egentligen? om jag har egenvärden
#1: (λ-4)^2 har detta då multiplicitet 2 då? eftersom det blir en dubbelrot?
#2: (λ-3)(λ-4)^2 har detta då multplicitet 2 också dÅ? en rot+en dubbelrot?
#3: (λ-4)^2(λ^2-3λ+2) har detta då multiplciitet 1 då? eftersom vi har bara 'enkelrötter'???
Dimension ska det nog stå, inte division.
Alla dina tre exempel har dubbelrötter ((l-4)^2), så motsvarande egenvärden (4 i alla tre exemplen) har multiplicitet 2. Notera att det alltså är multiplicitet för varje egenvärde separat man pratar om.
haraldfreij skrev :Dimension ska det nog stå, inte division.
Alla dina tre exempel har dubbelrötter ((l-4)^2), så motsvarande egenvärden (4 i alla tre exemplen) har multiplicitet 2. Notera att det alltså är multiplicitet för varje egenvärde separat man pratar om.
Så
en 'enkelrot' = mulitplicitet 1?
dubbelrot = multiplciitet 2?
trippelrot= multiplicitet 3?
Precis. Om du faktoriserar det karakteristiska polynomet får du alla egenvärden. Förekommer någon faktor flera gånger får du alltså motsvarande egenvärde flera gånger, dvs högre multiplicitet.
haraldfreij skrev :Precis. Om du faktoriserar det karakteristiska polynomet får du alla egenvärden. Förekommer någon faktor flera gånger får du alltså motsvarande egenvärde flera gånger, dvs högre multiplicitet.
Tack så mcyket!
Här pratar man om egenvärdets geometriska multiplicitet, det är alltså dimensionen på egenrummet. Detta är inte nödvändigtvis lika med den algebraiska multipliciteten, som är "potensen på roten" i det karakteristiska polynomet.
Edit: Alltså bara för att du har så betyder inte det att den geometriska multipliciteten är 2, dvs den multiplicitet som är relevant här. Man vet att den inte kan vara större än 2, men om den är 2 eller 1 så måste man bestämma dimensionen på egenrummet.
Ah, sorry, jag hade uppenbarligen inte linjäralgebran i tillräckligt färskt minne. Jag hade för mig att de alltid var samma, men det är de såklart inte. Mina kommentarer rör algebraisk multiplicitet, medan det ursprungliga citatet rör geometrisk multiplicitet.
