egenvärden utan given matris

Ett sätt som är ganska rakt på sak är ju att ställa upp ett ekvationssystem:

$A\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}$

och

$A\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}2a+b\\2c+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$

vilket du kan lösa med valfri metod.

En annan metod är att komma ihåg att en matris kolonner utgörs av enhetsvektorernas avbildningar. Eftersom vi får givet att $A\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}0&-1\end{bmatrix}T$ måste matrisens högra kolonn vara $\begin{bmatrix}0&-1\end{bmatrix}^T$, d.v.s. $b=0$ och $d=-1$.

För den andra enhetsvektorn kan vi utnyttja att transformationen är linjär:

$A\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$

$A(\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}-A\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3/2\end{bmatrix}$

Alltså skall den vänstra vektorn vara $\begin{bmatrix}2&3/2\end{bmatrix}^T$, d.v.s. $a=2$ och $c=3/2$.

Kolla upp definitionen av egenvärden igen. 

$Av=\lambda v$ här har vi ett känt egetvärde $\lambda =-1$ med korresponderande egenvektor $v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ alltså per definiton $A\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=-1\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$(och samma med andra)

Här är ytterligare en alternativ lösning på (b).

Definiera en linjär transformation T: ${\mathrm{ℝ}}^2$ $\to$ ${\mathrm{ℝ}}^2$, $\overrightarrow{x}$ $\mapsto$ T($\overrightarrow{x}$) = A$\overrightarrow{x}$.

Låt B vara en bas bestående av de angivna egenvektorerna, dvs

B = $\left\{\left[\left.\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right.\right]\right\}$.

Vi vet förmodligen att T:s matris relativt B är en diagonalmatris där diagonalelementen är egenvärdena till A, dvs

[T]_B = $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$.

Låt E beteckna standardbasen för ${\mathrm{ℝ}}^2$, dvs

E = $\left\{\left[\left.\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right.\right]\right\}$.

T:s matris relativt E är inget annat än A, dvs

[T]_E = A.

Vi har fölande samband mellan de två matriserna för T

[T]_E = P_B$\to$E  [T]_B P_E$\to$B, där

P_B$\to$E = $\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$, och

P_E$\to$B = (P_B$\to$E)^-1 = $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 0\end{array}\right]$.

Således

A = [T]_E = $\frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$$\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& -1\end{array}\right]$.