Egenvärden och egenvektorer: Avbildningen T

Hej Max,

Avbildningen är

    $T(f) = f'\cdot g + f\cdot g'.$

Baselement i vektorrummet $P_n$ är funktioner $e_k(x) = x^k$ där $k\in\{0,1,\ldots,n\}.$

Om avbildningen verkar på en basvektor fås funktionen

    $T(e_k) = e_k'\cdot g + e_k \cdot g' = ke_{k-1}\cdot g + e_k \cdot g',$ där $k\in\{1,2,\ldots,n\}$;

för $k=0$ fås funktionen $T(e_0) = g'.$

Med $g(x) = x$ blir därför

    $T(e_k)(x) = ke_{k-1}(x)\cdot x + e_k(x) \cdot 1 = (k+1)e_{k}(x)$

och $T(e_0)(x) = e_0(x).$

Hej Albiki,

Jag förstår inte riktigt vad du menar men ska försöka förklara hur jag tänker så kan du rätta mig när jag går fel. Jag är helt med på att $T\left(f\right) = f\text{'}·g + f·g\text{'}$. Men angående baselementen i vektorrummet $P_n$ så är jag inte riktigt med på noterna. Skulle jag kunna säga att $span\left\{x^1, x^2, ... , x^n\right\}$är $P_n$? Jag förstår inte heller varför vi låter avbildningen verka på en basvektor. 

Tack på förhand, Max

Hej,

Du bortser från baselementet $e_0(x) =1$ som tar hand om konstanttermer i polynom; varje polynom är ju samma sak som en linjärkombination av baselementen

    $p(x) = c_ne_n(x)+\cdots+c_0e_0(x) = c_nx^n + \cdots + c_0.$

Låter du linjära avbildningen $T$ verka på ett sådant polynom är det samma sak som att låta $T$ verka på var och en av baselementen.

    $T(p)(x) = c_n T(e_n)(x) + \cdots + c_0 T(e_0)(x).$

Med de givna beräkningarna fås resultatet 

    $T(p) = c_n (n+1) e_n(x) + c_{n-1} n e_{n-1}(x) + c_0 e_0(x) = (n+1)c_nx^n + n c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_0.$

Du är intresserad av funktionerna $T(e_k)$ eftersom dessa bildar den sökta matrisrepresentationen av $T$ i basen $\{e_0,e_1,\ldots,e_n\}.$

Hej igen,

Okej så avbildningsmatrisen $T$ blir då en matris med $T\left(e_k\right)$ som kolonnelement? Alltså, om jag förstår dig rätt, så är

$T =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{cccccc}T\left(e_1\right)& T\left(e_2\right)& .& .& .& T\left(e_n\right)\end{array}\right]$.

Tack på förhand, Max