Egenvärden och egenvektorer

Hej,

Försöker lösa nedanstående uppgift:

a) Inga större problem här, använder det karakteristiska polynomet det(A-$\lambda$I)

b) Diagonalmatrisen D är ju egenvärdena diagonalt, i detta fall: $\left[\begin{array}{cc}-5& 0\\ 0& 4\end{array}\right]$  och U= egenvektorerna, i detta fall: $\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$. Är detta ett generellt samband? Vet att det finns en formel som är PD$P^{-1}$? Är P då samma sak som egenvektorerna i en matris?

c) Enligt lösningsförslag:

Förstår inte riktigt vad man gör här. Är med på att $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ är en egenvektor, men varför kan man ta tillhörande egenvärde upphöjt till 123? Förstår inte hur det är samma sak som $A^{123}$*$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$?