Egenvärden för linjär operator

Visa uträkningen för att ta fram egenvärden för $L_a$.

Ebola skrev:

Visa uträkningen för att ta fram egenvärden för $L_a$.

Lite det jag har problem med. V har väl oändlig dimension så det är ingen ide att börja tänka i baser? Då kan man väl inte heller försöka hitta ett karaktäristiskt polynom? Kommer inte på något systematiskt sätt utan försöker mer resonera mig till svaret.

Om jag inte minns fel är det någon algoritm man använder sig av vilket också kommer tillåta ett mer allmänt uttryck. Detta leder sedan till att du väljer den parameter som ger tre egenvärden eller inga. Vad säger din bok om egenvärden för operatorer?

Mycket riktigt kan vi glömma matris-representation i detta fall.

Tillägg: 27 nov 2021 14:49

Såvida det inte är så enkelt att du bara ska testa $a =-2,-1,0,1,2$.

Har du testat alla dessa?

Ebola skrev:

Om jag inte minns fel är det någon algoritm man använder sig av vilket också kommer tillåta ett mer allmänt uttryck. Detta leder sedan till att du väljer den parameter som ger tre egenvärden eller inga. Vad säger din bok om egenvärden för operatorer?

Mycket riktigt kan vi glömma matris-representation i detta fall.

---

Tillägg: 27 nov 2021 14:49

Såvida det inte är så enkelt att du bara ska testa $a =-2,-1,0,1,2$.

Har du testat alla dessa?

Tack för dina svar, hittar tyvärr inget om detta, varken i boken eller i mina anteckningar :(

När det kommer till att testa känns det ganska kört då alla heltalsvärden på a väl ger 1 som enda egenvärde:

$f\left(t\right)=f(t+1)=f\left(\right(t+1)+1)=...=f(t+a)=L\left(f\right(t\left)\right) , a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, samma sak för negativa a baklänges

Kan väl dra slutsatsen att a inte får vara ett heltal i varken d) eller e) men inte så mycket mer än så vid det här laget.

Ja, det här är en riktigt krånglig grej att tänka på. Jag får en känsla av att din föreläsare eller boken visat ett trick.

Antag att $f(t) = e^{2\pi i \cdot t}$ vilket är en $\mathbb{C}^{\infty}$-funktion med period 1. Detta ger:

$e^{2\pi i \cdot (t+a)}=\lambda e^{2\pi i \cdot t}$

Vi får:

$\lambda = e^{2\pi i \cdot a} = \cos(2\pi a) + i \sin(2\pi a)$

Vi söker alltså nu ett tal som ger tre distinkta lösningar på ovan. Du kanske minns trigonometriska ekvationer från gymnasiet och kan förstå vad ovan kan producera för typ av lösningar. Vi förstår även genast varför alla heltal ($a \in \mathbb{Z}$) ger egenvärdet 1. 

Ebola skrev:

Ja, det här är en riktigt krånglig grej att tänka på. Jag får en känsla av att din föreläsare eller boken visat ett trick.

Antag att $f(t) = e^{2\pi i \cdot t}$ vilket är en $\mathbb{C}^{\infty}$-funktion med period 1. Detta ger:

$e^{2\pi i \cdot (t+a)}=\lambda e^{2\pi i \cdot t}$

Vi får:

$\lambda = e^{2\pi i \cdot a} = \cos(2\pi a) + i \sin(2\pi a)$

Vi söker alltså nu ett tal som ger tre distinkta lösningar på ovan. Du kanske minns trigonometriska ekvationer från gymnasiet och kan förstå vad ovan kan producera för typ av lösningar. Vi förstår även genast varför alla heltal ($a \in \mathbb{Z}$) ger egenvärdet 1. 

Lyckades ändå lösa det igår till slut på typ samma sätt som du gjorde, glömde dock att markera tråden som färdig. Kunde även lösa den med tre egenvärden genom att se vilket värde på a (a=1/3) som gav exakt tre unika egenvärden som sen upprepades periodiskt.

Tack så mycket för hjälpen, också bra att du skrev ansatsen ovan ifall någon i framtiden hittar tråden med en liknande fråga :)

Ja, precis. Sedan, för att faktiskt lösa den utan att tvinga handviftande inom principalgrenen kanske man gör som följer:

$\lambda = (e^{2 \pi i})^a = (e^{2 \pi i+2\pi i n})^a = e^{2 \pi i \cdot a(1 + n)}$ där $n \in \mathbb{Z}$. 

Om vi nu funderar lite förstår vi att om $a = 1/3$ fås exakt tre distinkta egenvärden:

$\lambda = e^{2 \pi i /3(1 + n)}$

$n = 0 : \lambda = -1/2 + i \sqrt{3}/2$

$n = 1 : \lambda = -1/2-i \sqrt{3}/2$

$n=-1 : \lambda = 1$

Det finns säkert ett mer stringent sätt att presentera det på men det kan en matematiker göra.

Tillägg: 29 nov 2021 15:02

För e) behöver man bara välja ett irrationellt eller transcendent tal $a$.