Egenvärden: Bijektiv linjär avbildning

Hej,

Låt $F : V \to V$ vara en bijektiv linjär avbildning. Visa att varje egenvektor med egenvärde $λ$ till $F$ är egenvektor med egenvärde $λ^{- 1}$ till $F^{- 1}$ .

Förstår inte hur jag ska börja med denna uppgift. Jag vet att en avbildning är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. Alltså, rätta mig mer än gärna om jag har fel nu, är definitionsmängden hela den mängd vi mappar från och värdemängden är då hela den mängd som vi mappar på. Finns det någon som kan bekräftta det jag har skrivit eller kan förklara hur det egentligen är? Jag är även mycket tacksam om någon kan ge mig vägledning angånde hur jag ska lösa uppgiften.

Med vänliga hälsningar

Max123

Max123 skrev:
är definitionsmängden hela den mängd vi mappar från och värdemängden är då hela den mängd som vi mappar på

Håll isär målmängd och värdemängd. Vi mappar på målmängden men alla element i mälmängden kanske inte träffas. I detta fall är den bijektiv, alltså är den surjektiv, alltså "träffas" hela målmängden (vilket är V).

Hej Qetsiyah,

Om jag förstår dig rätt nu så blir alltså målmängden i denna uppgift också värdemängden ty hela målmängden "träffas", eller tänker jag fel?

Exactly right!

Jag tror att det mera användbart för detta problem att notera att inversen F^-1 uppfyller

FF^-1 = F^-1F = I = identitetsoperatorn (Ix = x, för alla vektorer x).

Om v är en egenvektor svarande mot egenvärde $λ$ så gäller definitionsmässigt

Fv = $λ$ v.

Kommer du vidare från detta?

PATENTERAMERA skrev:
Jag tror att det mera användbart för detta problem att notera att inversen F^-1 uppfyller
FF^-1 = F^-1F = I = identitetsoperatorn (Ix = x, för alla vektorer x).
Om v är en egenvektor svarande mot egenvärde $λ$ så gäller definitionsmässigt
Fv = $λ$ v.
Kommer du vidare från detta?

Nej jag förstår tyvärr inte hur jag ska gå till väga här. Det känns som att jag saknar en plan för hur jag ska lösa dessa uppgifter. Finns det något mer eller mindre allmänt sätt att gå tillväga på vid liknande uppgifter?

Hej Max,

Om $v$ är en egenvektor med tillhörande egenvärde $\lambda$ för den linjära avbildningen $F$ så gäller det att

$F(v) = \lambda v.$

Låt inversen $F^{-1}$ verka på vektorn $F(v)$ ; då får du vektorn $v$ , som även kan skrivas såhär:

$v = F^{-1}(F(v)) = F^{-1}(\lambda v).$

Men $F^{-1}$ är också en linjär avbildning, varför $F^{-1}(\lambda v) = \lambda F^{-1}(v)$ och då har du fått sambandet

$v = \lambda F^{-1}(v).$

Men $F^{-1}$ är också en linjär avbildning, varför $F^{-1}(\lambda v) = \lambda F^{-1}(v)$ och då har du fått sambandet
$v = \lambda F^{-1}(v).$

Hej,

Men visar inte detta att $λ$ är ett egenvärde till $F^{- 1}$ ? Uppgiften vill väl att jag ska visa att $λ^{- 1}$ är egenvärdet till $F^{- 1}$ eller är jag helt ute och cyklar?

Med vänliga hälsningar, Max

Brukar egenvärde kopplas ihop med avbildningen eller vektor?

Då förstår jag! Tack så mycket Aerius.

Svara

Visa senaste svar