Egenvärde och egenvektorer

Hej, 

Kan någon hjälpa mig med vad det är jag gör fel i denna uppgiften? 

Jag ska hitta karaktäristiska ekvationen, egenvärdena och baserna till egenrummet för matrisen,

A=$\begin{array}{ccc}4& 0& 1\\ -2& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}$. 

Jag har hittat att egenvärdet är 3, och att karaktäristiska ekvationen är ${(\lambda -3)}^3=0$, vilket stämmer. Jag har även hittat en vektor som är i basen, $\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}$.

Men det ska finnas en annan vektor också, nämligen $\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}$, vilket jag inte riktigt förstår hur denna tas fram? 

Jag fick fram ena vektorn genom att först utföra $(\lambda *I-A)$, där jag då får: 

$\begin{array}{ccc}\lambda -4& 0& 1\\ 0& \lambda -3& 0\\ -1& 0& \lambda -2\end{array}\Rightarrow \lambda =3\Rightarrow \begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}$.

Sedan motiverar jag att x är en egenvektor till A motsvarande egenvärdet 3, OMM: 

$\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}*\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}=\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}$. 

Där jag då får ekvationssystemet,

-x1+x3=0

-x1+x3=0, och löser ut ledande variabel: 

x1=x3, och låter x3=t. Detta i vektorform blir då: 

$\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}=t*\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}.$ Men hur får jag att den andra vektorn blir $\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}$? En tanke var att eftersom x2=0 så skulle vi kunna sätta in vilket värde som helst på x2. Men varför skulle inte en annan vektor då kunna vara $\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}$ t.ex.?

Finns något specifikt sätt att få fram $\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}$, som då ska vara den andra rätta vektorn i basen? Eller måste man teoretiskt motivera sig fram till den?